Обзор экономико-математических методов. Применение стохастического программирования для решения экономических задач
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
?т соответствующая последовательность ходов. В большинстве игр предполагается, что интересу участников поддаются количественному описанию, т.е. результат игры (выигрыш) определяется некоторым числом. Ходом в теории игр называется выбор одного из предположенных правилами игры действий и его осуществление.
Стратегией игрока называется план, по которому он совершает выбор в любой возможной ситуации и при любой возможной фактической информации. Естественно, что игрок принимает решения по ходу игры. Однако теоретически можно предположить, что все эти решения приняты игроком заранее. Тогда совокупность этих решений составляет его стратегию. В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т. е. определение для них оптимальной стратегии. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средней выигрыш.
Простейший вид стратегической игры - игра двух лиц с нулевой суммой (сумма выигрышей сторон равна нулю). Игра состоит из двух ходов: игрок А выбирает одну из своих возможных стратегий Ai (i = 1, 2,.... m), а игрок В выбирает стратегию Вj (j = 1, 2,..., n), причем каждый выбор производится при полном незнании выбору другого игрока.
Цель игрока А - максимизировать функцию ? (Ai, Bj), в свою очередь, цель игрока В - минимизировать эту же функцию. Каждый из игроков может выбирать одну из переменных, от которых зависит значение функции. Если игрок А выбирает некоторую из стратегий Ai, то это само по себе не может влиять да значение функции ? (Ai, Bj).
Влияние Ai, на величину значения ? (Ai, Bj) является неопределенным; определенность имеет место только после выбора, исходя из принципа минимизации ? (Ai, Bj), другим игроком переменной Bj. При этом Bj определяется другим игроком. Пусть ? (Ai, Bj)= aij. Составим матрицу А:
Строки матрицы соответствуют стратегиям Ai, столбцы - стратегиям Bj. Матрица А называется платежной или матрицей игры. Элемент aij матрицы - выигрыш игрока А, если он выбрал стратегию Ai, а игрок В выбрал стратегию Bj.
Пусть игрок А выбирает некоторую стратегию Ai ; тогда в наихудшем случае (например, если выбор станет известным игроку В) он получит выигрыш, равный min aij. Предвидя такую возможность, игрок А должен выбрать такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш a :
а = max min aij
i j
Величина а - гарантированный выигрыш игрока А - называется нижней ценой игры. Стратегия Аi0, обеспечивающая получение а, называется максиминной.
Игрок В, выбирая стратегию, исходит из следующего принципа: при выборе некоторой стратегии Вj его проигрыш не превысит максимального из значений элементов j-го столбца матрицы, т.е. меньше или равен max aij
Рассматривая множество max aij для различных значений j, игрок В, естественно выберет такое значение j, при котором его максимальный проигрыш ? минимизируется:
? = min miax aij
i j
Величина ? называется верхней ценой игры, а соответствующая выигрышу ? стратегия Вj0 - минимаксной.
Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров ограничен нижней и верхней ценой игры. Если же эти выражения равны, т.е.
max min aij = min max aij = u
i j j i
то выигрыш игрока А - вполне определенное число, игра называется вполне определенной, а выигрыш называется значением игры и равен элементу матрицы аi0j0. Элемент аi0j0 в матрице такой игры является одновременно минимальным в строке i0, максимальным в столбце j0 и называется Седловой точкой. Седловой точке соответствуют оптимальные стратегии игроков, их совокупность - это решение игры, которое обладает следующем свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого отклонение от его оптимальной стратегии не может быть выгодно.
1.2 Теория массового обслуживания
Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями:
очередь покупателей в кассах магазинов;
колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором;
ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта; и т.д.
Все эти ситуации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).
Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания, чем выше, тем больше число обслуживающих единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.
В промышленности СМО применяется при:
поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада;
обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании;
организации наладки и ремонта оборудования;
определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.
Основными элементами СМО являются источники заявок, их входящий поток, каналы обслуживания и выходящий поток.
В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:
системы с отказами, в которых при з?/p>