* Алгебры и их применение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?роектор, то возможны случаи:
?1 = 0, ?2 = 0;
?1 = 0, ?2 = 1;
?1 = 1, ?2 = 0;
?1 = 1, ?2 = 1;
Но это означает, что k,l = 0,1 такие, что Нk,l ? {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.
Р1 = , Р2 ? (0, 1)
Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 + bР2, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 + bР2 ?I) = 0.
(1.1.)
Тогда , (1.2)
Положим a = 1, b =1, ? = , тогда ?1 = 1+? , ?2 = 1-? и 0<?<1 (поскольку 0<?<1.
Тогда (А) {0, 1, 2}{1+? , 1-?}. Причем собственные значения 1+? и 1-? входят в спектр А одновременно.
1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть ? (А), тогда Ах = ?х =?k +?l;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.
Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0, Н1=Н0,1Н1,0, Н2=Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Н?к ?к (0, ), (к = 1,…, s). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в Н?к (к = 1,…, s), и собственные значения 1+?к, 1-?к входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства
Н?к = Н1+?к Н1-?к , причем dimН1+?к = dimН1-?к = 1 (1.3)
Если ?к ? ?i, то ?к ? ?i (так как ?к = =cos?к и ?к (0, )). Объединим все Н?к , у которых одинаковые ?к , в одно слагаемое, и обозначим его через Н?к. При этом, если dimН?к = 2qk, то есть Н?к состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному ?к , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Н?к = Н1+?к Н1-?к , dimН1+?к = dimН1-?к = qk.
Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2 тогда и только тогда, когда
(А) {0, 1, 2}({1+? , 1-?}), 0<?к<1,
причем dimН1+?к = dimН1-?к к = 1,…, m.
Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:
(А) {0, 1, 2}({1+? , 1-?}), где 0<?к<1для любого к = 1,…, m.
Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть
dimН1+?к = dimН1-?к . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):
Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2Нк)) (1.4.)
(1.4.) можно записать иначе
Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2(Н1+?к Н1-?к ))) (1.5.)
Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом
P1 = PН2((Iк )) (1.6.)
Р2 = PН1 PН2 ( Iк )) (1.7.)
где PНк ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is единичный оператор в Hs s=1,…, m. Но тогда
Р1 + Р2 = PН1 PН2 ( Iк )) = А, при этом А = А*
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует ?1 + ?2 = a + b. Пусть ?2 = ?, тогда ?1 = a + b ?.
Оценим ?. Заметим, что (a +b)2 4ab(1-?) = (a - b)2 + 4ab? > 0.
Тогда ? = > = 0, то есть ? = 0.
Допустим, что ? ? a , тогда
a ?
? b a
(b - a)2 +4ab? ? (b a)2
ab? ? 0, но ab? > 0 и значит ? < a
Итак,
?1 = ?
?2 = a + b ?. (1.8.)
0 < ? < a
Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.
Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда
(А) {0, a, b, a + b}({?к , a + b - ?к}), 0<?к<1, и
dimН?к = dimНa+b-?к (Н?к , Нa+b-?к - собственные подпространства оператора А, отвечающие ?к) к=1,…m.
Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2, 0<a<b. Найдем (А).
1) х Н0,0, то Ах = 0 и 0(А);
2) х Н0,1 , то Ах = bx и b(А);
3) х Н1,0 , то Ах = ax и a(А);
4) х Н1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b(А).
Тогда (А) {0, a, b, a + b}({?к , a + b - ?к}), где 0<?к<1, к=1,…m. Причем числа ?к, a + b - ?к входят одновременно в спектр А, и соответству- ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному ?к также инвариантна относительно А и dimН?к = dimНa+b-?к = qk. (с учетом кратности ?к)
Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)
Н = Н(0) Н(a) Н(b)Н(a+b) ((С2Нк)) (1.9.)
Где Н(0)=Н0,0 , Н(a) =Н1,0 , Н(b)=Н0,1 , Н(a+b)=Н1,1 или
Н = Н(0) Н(a) Н(b)Н(a+b) ((Н?к Нa+b-?к) (1.10.)
Положим
P1 = PaPa+b ((Iк )) (1.11.)
Р2 = Pb Pa+b ( Iк )) (1.12.)
Но тогда
aР1 + bР2 = aPabPb (а+b)Pa+b (a(Iк ))
(bIк )) = A.
Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}({?к , a + b - ?к}), (0<?к<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.
2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве
2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств
Н = Н0 Н1 Н2 ((С2L2((0, ), d?к))) (2.1.)
и меры ?к инвариантны относительно преобразования 1+х > 1-х.
Доказательство. Пусть А = Р1 + Р2. Н0=Н0,0 , Н1=Н1,0Н0,1 , Н2=Н1,1
Поставим в соответствие ?>? cos?, где ? (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)
Н = Н0 Н1 Н2 ((С2L2((0, 2), d?к)))
Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+? , 1-?, 0<?<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ?к (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х > 1- х.
Обратно. Пусть имеет м