* Алгебры и их применение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
? ?i обозначается через с?. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным ?.
Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.
Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.
Доказательство. Пусть f0 ? 0 какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов ?(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления ?.
Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.
Обозначим через М совокупность всех систем {Н?}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н?}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н?}. Но тогда Н=Н?; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Н?) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {Н?}Н0М, содержащую максимальную систему {Н?}, что невозможно.
2.3. Неприводимые представления.
Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.
Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.
Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.
Теорема 2.5. Представление ? в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.
Доказательство. Пусть представление ? неприводимо. При fН, f ? 0, подпространство, натянутое на векторы ?(х)f , хА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство
{? f | ? C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть ?(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.
Обратно, если представление ? приводимо и К отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления ? в Н.
Теорема 2.6. (И.Шур) Представление ? неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант ? (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).
Доказательство. Пусть представление ? неприводимо и пусть ограни- ченный оператор В перестановочен со всеми операторами ?(х). Предположим сначала, что В эрмитов оператор; обозначим через E(?) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом ? оператор E(?) перестановочен со всеми операторами ?(х) ; в виду неприводимости представления E(?) =0 или E(?) =1, так как (E(?) f, f) не убывает при возрастании ?, то отсюда следует, что существует ?0 такое, что E(?) =0 при ??0 . Отсюда
В=? dE(?) = ?0 1.
Пусть теперь В произвольный ограниченный оператор, переста- новочный со всеми операторами ?(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами ?(х). Действительно,
В*?(х) = (?(х*)В)* = (В?(х*))* = ?(х)В*
Поэтому эрмитовы операторы В1=, В2= также перестановочны со всеми операторами ?(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В скаляр.
Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами ?(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами ?(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.
Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н > Н? такой, что Т?(х)=??(х)Т для любого хА, называется оператором сплетающим ? и ??.
Пусть Т : Н > Н? - оператор, сплетающий ? и ??. Тогда Т* : Н? > Н является оператором, сплетающим ?? и ?, так как
Т* ??(х) = (??(х)Т)* = (Т?(х*))* = ?(х)Т*
Отсюда получаем, что
Т* Т?(х)=Т* ??(х)Т= ?(х)Т*Т (2.1.)
Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с ?(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА
U?(х)|T| = U|T| ?(х)= Т?(х)= ??(х)Т=??(х)U|T| (2.2.)
Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует
U?(х) = ??(х)U (2.3.)
Если, кроме того, = Н?, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Н? и (2.3.) доказывает что ? и ?? эквивалентны.
Пусть ? и ?? - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н? соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н > Н?. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (?0) и ?, ?? эквивалентны.
2.4. Конечномерные представления.
Теорема 2.7. Пусть ? конечномерное представление *-алгебры А. Тогда ? = ?1…..?n , где ?i неприводимы.
Доказательство. Если dim? = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dim? = q и что наше предложение доказано при dim?<q. Если ? неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае ? = ?? ???, причем dim??&l