* Алгебры и их применение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
t;q, dim???<q, и достаточно применить предположение индукции.
Разложение ? = ?1…..?n не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.
Пусть ?1, ?2 два неприводимых подпредставления ?. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с ?(А). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ?1 и ?2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ?1 и ?2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление ? эквивалентно одному из ?i . Итак, перегруп- пировав ?i , получаем, что ? = ?1…..?m, где каждое ?i есть кратное ?i?i? неприводимого представления ?i?, и ?i? попарно эквивалентны. Если ? неприводимое представление ?, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н? ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих ?i, кроме одного. Поэтому Н? содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений ?, эквивалентных ?i?. Таким образом, доказано предложение.
Теорема 2.8. В разложении ? = ?1?1?…..?m?m? представления ?, (где ?1?,…, ?m? неприводимы и неэквивалентны) целые числа ?i и классы представлений ?i? определяются единственным образом, как и пространства представлений.
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.
Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, В, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.
Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 борелевские пространства. Отображение f: Т1>Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.
Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.
Пусть Т борелевское пространство и ? положительная мера на Т.
Определение 2.9. ? измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ? = ((H(t))tT, Г), где (H(t))tT семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:
(i) Г векторное подпространство Н(t);
существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы хn(t) образуют последовательность H(t);
для любого хГ функция t>||x(t)|| ? измерима;
пусть х векторное поле; если для любого yГ функция t>(x(t), y(t)) ? измерима, то хГ.
Пусть ? = ((H(t))tT, Г) ? измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||2 d?(t) < +?.
Если х, y с интегрируемым квадратом, то х+y и ?х (?С) тоже и функция t >(x(t), y(t)) интегрируема; положим
(x, y) = (x(t), y(t)) d?(t)
Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)d?(t).
Определение 2.10. Пусть ? = ((H(t))tT, Г) измеримое поле гильбер- товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t>S(t)x(t) измеримо, то t>S(t) называется измеримым операторным полем.
Пусть Т борелевское пространство, ? - положительная мера на Т, t>Н(t) - ? - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление ?(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t>?(t) есть поле представлений А.
Определение 2.11. Поле представлений t>?(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t>?(t)х измеримо.
Если поле представлений t>?(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор ?(х)=?(t) (x) d?(t) в гильбертовом прост- ранстве Н =Н(t) d?(t).
Теорема 2.9. Отображение х>?(х) есть представление А в Н.
Доказательство. Для любых х, yА имеем
?(х+y) = ?(t) (x+y) d?(t) = (?(t) (x) + ?(t) (y)) d?(t) =?(t) (x )d?(t) +
+?(t) (y) d?(t) = ?(х) +?(y)
Аналогично ?(?х) = ??(х), ?(хy) = ?(х) ?(y), ?(х*)=?(х)*
Определение 2.12. В предыдущих обозначениях ? называется прямым интегралом ?(t) и обозначается ? =?(t) d?(t).
Определение 2.13. Операторное поле t>?(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)d?(t).
Пусть ? = ((H(t))tT, Г) ?-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, ?1 мера на Т, эквивалентная ? (то есть каждая из мер ?1, ? абсолютно непрерывна по другой), и ?(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)d?(t) составляет поле t>?(t)-1/2х(t)Н1=Н(t) d?1(t),
есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.
Действительно,
||?(t)-1/2х(t)d?1(t)||2 = ||х(t)||2?(t)-1 d?1(t) = ||х(t)||2d?1(t) = ||х(t)||2
Теорема 2.10. Пусть Т борелевское пространство, ? мера на Т, t>Н(t) измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t>?(t) измеримое поле представлений А в Н(t),
Н =Н(t) d?(t) , ?1==?(t )d?(t),
Д алгебра диагональных операторов в Н. Пусть ?1 мера на Т, эквивалентная ?,
Н1 =Н(t) d?1(t) , ?1 =?(t) d?1(t),
Д1 алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует ? в ?1 и Д в Д1.
Доказательство. Пусть ?(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) d?(t)Н в
Ux = ?-1/2х(t) d?1(t).
Пусть ? А. Имеем
?1(?)Ux = ?(t)(?) ?-1/2 х(t) d?1(t) = U?(t)(?) х(t) d?(t) = U?(?)x,
поэтому и преобразуем ? в ?1. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.
Определение 2.14. Пусть Т, Т1 борелевские пространства; ?, ?1 меры на Т и Т1 соответственно; ? = ((H(t))tT, Г), Z1 = ((H1(t1))t1T1, Г), - ?-измеримое и ?1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть ?: Т>Т1 борелевский изоморфизм, пере