* Алгебры и их применение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ратора U: Uf = ei?f, U(Аf) = ei? Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНei?= dimН-ei?=1
Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {ei?, e-i?} ?(0, ?) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:
А = , U = , В =
Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер- ны и двумерны.
Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.
2.2. Спектральная теорема. Пусть Н сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 ((С2L2((0, ), d?к))) (2.4.)
где ?1 > ?2 >… ?к меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства
P1 = P1,0 P1,1 ((Iк )) (2.5.)
Р2 = P0,1 P1,1 (Iк )) (2.6.)
Iк единичный оператор в L2((0, ), d?к)
Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств
Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 Н?, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н? состоит из инвариантных двумерных подпространств.
Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечает циклическое представление ?F *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере ?F на Т.
Пусть каждому вектору ?Н поставим в соответствие подпространство Н? Н, которое получается замыканием множества векторов вида ?(х)?, где хА. Ограничения операторов из ?(А) на Н? является циклическим представлением. Обозначим его через ??, а соответствующую меру на Т через ??. Введем упорядочение в Н, полагая ?>?, если ?? > ?? (то есть ?? абсолютно непрерывна по мере ??).
Если ?Н?, то Н?Н?, тогда ?? циклическое подпредставление ??. Пусть Е Т и ?? (Е) = 0, тогда ?? (Е) = 0, следовательно ?? > ??, а значит ?>?.
Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Н?к. Пусть {?i} последовательность, в которой каждый из векторов ?i встречается бесконечное число раз. Определим ?к индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:
?к+1 максимальный вектор в (Н?i)+,
d (?к, Н?i) ? .
Тогда разложение Н = Н?к такое что ?к>?к+1 и ?к>?к+1 .
Пусть представления ?? в L2(Т, ?) и ?? в L2(Т, ?) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, ?) >L2(Т, ?) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=v??(g)f = ?? (g)vf = ?? (g)a = ga. Так как v изометрическое отображение, то d?=|a|2d?. Таким образом мера ? абсолютно непрерывна по мере ?. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ? абсолютно непрерывна по ?, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н? = (С2L2(Т, ?к)), где ?1>?2>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:
P1 = P1,0 P1,1 ((Iк ))
Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))
Iк единичный оператор в L2((0, ), d?к).
Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 С2Н(?)dЕ(?) (2.7.)
в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(?) единичного оператора I+=E(0, ) в Н+ =С2Н(?)dЕ(?), такое что имеет место равенство
P1 = P1,0 P1,1 I+ (2.8.)
Р2 = P0,1 P1,1 dЕ(?) (2.9.)
Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L2(R, d?к), где ?к зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов
1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1. Пусть Н гильбертово пространство. Если Р ортопроектор, то (Р) = р (Р) = {0, 1}, где р (Р) точечный спектр при условии, что Р ? 0 и Р ? I.
Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - ?х = y, х, y Н, ? С. Тогда (1 - ?) Рх = Рy . Если ? ? 1, то Рх = Рy. Если х ? 1, то х = (Рy - y), тогда (Р) = {0, 1}.
Так как Р ? 0 и Р ? I, то существует х ? 0 такой, что Рх ? 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1р (Р). Существует y ? 0: (I - Р)y ? 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 (I - Р)y, то есть 0 р (Р). Итак, (Р) = р (Р) = {0, 1}.
1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.
1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк область значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем (А).
1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 х, то есть 0 (А).
2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х Н2 = Н Ах = х, то есть 1 (А).
3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х Н1 = Н Ах = х.
4) Р1 = Р2 = I, то для любого х Н1 = Н2 = Н Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2 (А).
Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.
1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.
1) х Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0 (А).
2) х Н0,1 или х Н1,0 , тогда Ах = х и 1 (А).
3) х Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 (А).
Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j ? {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j Нk,l = H. В этом случае (А) {0, 1, 2}.
Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АLL. Пусть х L, тогда Рkх = ?кх (k = 1, 2 ). Так как Рk орто?/p>