Модификация метода наименьших квадратов Прони
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
этой цели нужен аналоговый ФНЧ с частотой среза 22кГц и узкой переходной полосой и, следовательно, он будет иметь сильно нелинейную ФЧХ, что недопустимо. Для решения этой проблемы используют интерполятор, повышающий частоту дискретизации цифрового сигнала вдвое, после чего такой сигнал преобразуется в аналоговый в ЦАП с аналоговым ФНЧ, переходная полоса которого может быть в интервале частот 22кГц - 44кГц, а нелинейность ФЧХ будет приемлемо малой. Блок-схема такой обработки представлена на рис. 6.
Рис. 6
1.3 Алгоритм полигармонической экстраполяции для реставрации аудиозаписей (автор А.П. Евсеев)
С точки зрения математики мы имеем дело с задачей интерполяции [7], то есть нахождения значений некоторой функции внутри отрезка по её значениям вне этого отрезка. Но, в отличие от традиционной постановки (когда рассчитываются не более нескольких десятков точек и при этом используются интерполирующие полиномы соответствующего порядка), в задаче восстановления аудиофайлов требуется вычислять сотни и тысячи отсчетов внутри одного поврежденного участка. Для традиционного подхода это практически нерешаемая задача, поскольку требует полиномов очень высокого порядка. Представляется целесообразным применить для восстановления потерянных отсчетов алгоритм полигармонической экстраполяции [8], физическая суть которого изложена далее.
Для всех практически интересных сигналов могут быть получены Фурье-спектры, статические или динамические. Привлекательность использования спектральных характеристик для задач экстраполяции и прогноза заключается в том, что они характеризуют сигнал в целом и в каждом отсчете спектра, как в голограмме, присутствует информация о закономерностях динамики сигнала на доступном наблюдению отрезке предыстории. В связи с интегральным характером спектральных характеристик изменение амплитудно-частотного спектра при перемещении окна Фурье-преобразования происходит сравнительно медленно, чего нельзя сказать о фазо-частотном спектре. Алгоритм экстраполяции сигналов со значительным содержанием квазипериодических составляющих основан на известном постулате теории прогнозирования о том, что любой прогноз будет являться близким к действительности лишь в том случае, если на интервале прогноза будут действовать закономерности, которые
были на интервале предыстории. Следовательно, эффективно могут быть проэкстраполированы только те периодические компоненты процесса, которые целиком заполняют интервал предыстории [t-T- ?, t] и интервал прогноза [t, t+ ?]. Иллюстрацией к последующим рассуждениям служит рис. 7.
Берется отрезок реализации сигнала размером T на интервале предыстории [t-2T+ ?, t-T+ ?] и вычисляется его комплексный спектр:
Рис. 7 - Схема взаиморасположения окон Фурье-преобразования для экстраполяции сигнала S(t) на отрезок [t, t+ ?]
Заметим, что границы интервалов интегрирования здесь и далее опущены с целью уменьшения громоздкости выражений и совпадают с границами соответствующих отрезков сигнала. Затем берется другой отрезок размером T, сдвинутый относительно первого на ?, и также вычисляется его комплексный спектр:
Знание спектров SI(w) и SII(w) позволяет найти комплексный коэффициент передачи E(w) некоторого гипотетического четырехполюсника, обеспечивающего соответствующее преобразование спектра при переходе от первой реализации ко второй, сдвинутой на интервал
Учитывая предположение о сохранении периодических закономерностей процесса на интервале прогноза и на интервале предыстории, можно предположить, что коэффициент преобразования спектра отрезка реализации при переходе от второй реализации к третьей, смещенной относительно второго на ? в область прогноза, изменится незначительно, относительно коэффициента преобразования спектра при переходе от первого отрезка реализации ко второму.
Тогда можно утверждать, что:
амплитудно-частотный спектр;
фазо-частотный спектр.
При что обосновано условием медленности изменения
спектральных характеристик на интервале предыстории, получаем
Это позволяет записать симметричную пару соотношений:
Выражение (2) в совокупности есть не что иное, как комплексный спектр для третьего окна, сдвинутого относительно второго на интервал ?. Производя обратное Фурье-преобразование:
найдем отсчеты сигнала в интервале [t-T+ ?, t+ ?], который частично перекрывается с областью предыстории, а частично лежит в той области, где они предварительно были неизвестны. Таким образом, получаем оценки неизвестных отсчетов, опираясь на линейное преобразование спектральных характеристик известной части сигнала, т.е. решаем задачу прогноза.
На основе спектральных представлений может быть предложен другой, упрощенный алгоритм прогноза, пригодный в случаях, когда в обрабатываемой последовательности отсчетов превалируют колебательные тренды, а прогнозировать требуется лишь моменты экстремумов на интервале упреждения. В основе такого алгоритма лежит известное в теории простых сигналов соотношение Для сложных сигналов Однако для сложных сигналов, образованных суммой отдельных одновременно действующих простых сигналов (составной сигнал), справедливо первое соотношение в применении к каждой компоненте. Таким образом, задача продолжения колебательных закономерн?/p>