Методика решения задач на построения в стереометрии
Курсовой проект - Педагогика
Другие курсовые по предмету Педагогика
µорем и свойств геометрических фигур, между ними имеется и некоторое различие. При доказательстве теорем в большинстве случаев без труда выделяют условие и заключение. При решении задач на построение уже труднее найти данные, на основании которых можно доказать, что построенная фигура является искомой. Поэтому при решении конструктивных задач в классе целесообразно иногда специально выделять, что дано, и что требуется доказать. Например, при решении задачи: Построить ромб по двум его диагоналям предлагаем ученику записать, что дано (диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и что требуется доказать (стороны равны). В свою очередь при решении задач дома и в контрольных работах можно не требовать оформления доказательства с выделением отдельно условия и заключения. Нет надобности требовать проведения особого доказательства в задачах, где правильность решения очевидна.
Вернемся к нашей задаче и рассмотрим ее доказательство.
Доказательство: прямые DS4 и DS5 проходят через точку D и параллельны плоскости ABC по построению.
.4 Исследование
При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования.
Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений. Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, произвольно выбирая те или иные случаи, причем неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остается неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. Практически в большинстве случаев удается достигнуть необходимой полноты исследования, если проводить это исследование по ходу построения, что является наиболее доступным и целесообразным способом. Сущность этого приема состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли.
Рассмотрим исследование нашей задачи.
Исследование: данная задачи имеет решение и при том только одно, т. к. параллельно данной плоскости и не лежащую на ней прямой можно провести только одну плоскость.
Задачи
Задача №1.
Дано: SABCD-пирамида, PSB, KSC, MSA.
Построить: Сечение SABCD плоскостью МКР
Решение: Поскольку точки М, К и Р лежат на боковых ребрах пирамиды, то сразу можно построить две стороны сечения МР
S
Р К
О1
М В С
О Н
А D
и РК. После этого надо найти точку Н пересечения секущей плоскости с ребром SD.
Так как проекцией МК на плоскость (АВС) является прямая АС, а проекцией РН (где точка Н пока неизвестна, но знаем, что она лежит на ребре SD) на плоскость (АВС) является прямая ВD, то точка их пересечения О будет проекцией точки О1 на прямой МК.
Теперь в плоскости (ВSD) мы имеем две точки секущей плоскости: О1 и Р. Значит, искомая на ребре SD точка Н будет точкой пересечения ребра SD и прямой РО1.
Точка найдена, последние две стороны сечения МН и НК легко построить. Таким образом, МКРН - искомое сечение.
Задача №2
Дано: Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 - призма, PAA1, QBB1,RCC1
Найти: сечение ABCDA1B1C1D1 плоскостью проходящей через точки P, Q, R
Решение: Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу. Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC. Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT. PQRTU - искомое сечение.
Задача №3
Дано: Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 - призма, MA1B1, NAD, PDC
Найти: Сечение ABCDA1B1C1D1 плоскостью проходящей через точки M, N, P
Решение:Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения. Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение - MYZPNX.
Так же задачи на построение сечений можно решать в программе Живая Геометрия.
Задача 4.
Дано: ABCDA1B1C1D1-параллепипед, P CC1D1D, Q AA1D1D, R BB1. Построить: сечение ABCDA1B1C1D1 плоскостью P