Geum.ru

Метод векторів та його застосування

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

>(2-га ознака рівності векторів): для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх відповідні координати.

Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома не компланарними векторами.

Теорема: справедливі такі твердження:

  1. координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів;
  2. координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат цих векторів;
  3. координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат цього вектора на дане число.

Доведення: доведемо наприклад перше твердження. Нехай у деякому базисі (,,), (, , ), (, , ). Тоді за означенням координат вектора

 

= + + , = + + .

 

Отже, + = + + + + + = (+ ) + ( + ) + ( +).

Звідси випливає, що координати вектора + відповідно дорівнюють + +, + , + , що й треба було довести.

Аналогічно доводяться й інші властивості.

 

Теорема (2-га ознака колінеарності двох векторів): для того, щоб два вектори (, , ), (, , ) задані в деякому базисі (,,), були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.

Доведення: якщо = , то твердження очевидне. Припустимо, що .

1. Необхідність. Нехай || . Тоді існує таке число ?, що = ?, звідки випиває, що = ?, = ?, = ?;

= ?.

Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.

2. Достатність. Нехай = ?, тоді = ?, = ?, = ?. Помноживши ці рівності на вектори , , відповідно, дістанемо = ?, = ?, = ?. Додавши ці рівності дістанемо + + = ? + ? + ? або + + = ?( + + ), тобто = ? || . Теорему доведено.

5. Тривимірний векторний простір і його підпростори

 

Побудована нами не порожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють зазначені властивості, а саме:

 

,: + = + ;

, , :( +) + = + ( + );

, : + = + = ;

(-): + (-) = ;

: 1* = ;

?, ? R, : ?(?) = (??);

?, ? R, : (? + ?) = ? + ?;

? R, , : ?( + ) = ? + ? називається векторним простором. Позначимо його .

У векторних просторах розглядається поняття базису векторного простору і розмірності. Введемо означення цих понять.

Означення: базисом векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку і задовольняє умови:

  1. ця система векторів лінійно незалежна;
  2. будь-який інший вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору.

Означення: розмірністю векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів.

З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору є будь-яка система трьох не компланарних векторів, взятих у певному порядку. Справді, система будь-яких трьох некомланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.

Тому розмірність даного простору дорівнює трьом. У звязку з цим побудований нами векторний простір називається тривимірним векторним простором.

Означення: нехай L непорожня множина векторів із векторного простору . Множина L називається векторним підпростором простору , якщо виконуються такі умови:

  1. якщо

    L, L, то + L;

  2. якщо

    L, то і ? L ? R.

    3. Тобто підмножина L простору

    буде векторним підпростором простору , якщо вона сама є векторним простором.

    6. Скалярний добуток векторів

 

 

Нехай , ? ненульові вектори. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =. Кутом між векторами і називається кут між променями OA і OB (мал. 18). Позначають: (,) = ?. Для будь-яких векторів і маємо 0 ? (,) ? ?.

Означення: скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними: =cos(,).

 

Теорема: скалярний добуток векторів (, , ), (, , ), заданих в ортонормованому базисі, обчислюються за формулою:

= + + . /6/

 

 

Доведення. Якщо один із векторів або обидва нульові, то формула очевидна. Припустимо, що , і розглянемо два випадки.

1. Вектори і не колінеарні. Відкладемо вектори = , = (мал. 19). Нехай (, ) = ?.

З OAB за теоремою косинусів 2 OAOBcos?, або ,

звідки

=. Отже, = + + .

2. Вектори і колінеарні. Тоді = ?, = ?, = ?, = ?;

= ? = cos(?, ) = ?= ?() = ? + ? + ? = + +

Теорему доведено.

З теореми і означення випливають такі властивості скалярного добутку векторів:

1. = 0 тоді і тільки тоді, коли , якщо , .

2. = = = .

3. = .

4. (? ) = ?(),? R;

5. ( + ) = + .

Формула, аналогічна до формули /6/, має місце і в просторі . Справді, нехай в ортонормованому базисі простору задано вектори (, ), (, ). Тоді, користуючись властивостями 15, дістанемо: = ( + )( + )= + ( + ) + = + . Отже, = + /7/

З означення скалярного добутку і /6/, /7/ випливають такі формули для обчислення косинуса кута між векторами:

у просторі :

cos(, ) = ;

 

в просторі :

 

cos(, ) = .

 

Векторна алгебра може ефективно використовуватися для розвязування задач елементарної геометрії.

 

 

Практична частина

 

Задача 1. Довести, що коли точка D ділить відрі