Метод векторів та його застосування
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
/p>
Лінійна залежність векторів
Означення. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , ,…, серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що ++… += 0. / 4/
Якщо ж рівність /4/ справджується тільки при ==…== 0, то дана система векторів називається лінійно незалежною.
Сума ++… + називається лінійною комбінацією векторів .
Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, які будуть потрібні надалі.
Властивість 1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.
Доведення.
1. Необхідність. Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді існують такі числа , ,…, , що ++… += 0 /5/
При цьому принаймні одне з чисел , ,…, не дорівнює нулю. Нехай, наприклад, 0. Тоді з рівності /5/ дістанемо:
= .
Отже, вектор є лінійною комбінацією векторів , ,…, ,…, .
- Достатність. Нехай у даній системі векторів вектор
є лінійною комбінацією інших векторів:
=++… +++… +.
Цю рівність можна записати так:
++… + + (-1) ++… += 0.
У цій рівності коефіцієнт біля відмінний від нуля, тому дана система векторів лінійно залежна.
Властивість 2. Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.
Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна.
Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною.
Властивість 4. Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора.
Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор: , , то
виконується рівність 1* + 0* +… + 0* =0. 10, тому така система є лінійно залежною, а, отже, система лінійно незалежних векторів не може містити нульового вектора.
Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежності тісно повязане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справедливі такі теореми.
Теорема 1. Два вектори і лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
Доведення.
1. Необхідність. Нехай система векторів , лінійно залежна. Тоді за
властивістю 1 один із векторів лінійно виражається через другий: = ?,
звідки випливає, що вектори і колінеарні.
2. Достатність. Нехай вектори і колінеарні. Тоді існує таке число ?, що = ? . Із властивості 1 випливає, що вектори і лінійно залежні. Теорему доведено.
Теорема 2. Система трьох векторів , , лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли ці вектори компланарні.
Доведення.
1. Необхідність. Нехай система векторів , , лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів є лінійною комбінацією інших векторів. Нехай, наприклад, = ?+?. Із означення суми векторів випливає, що вектори , ?, ? компланарні, а тоді і вектори , , будуть компланарними, бо || ?, || ?.
2. Достатність. Нехай вектори , , компланарні. Якщо ||, то за попередньою теоремою вектори , лінійно залежні, а за властивістю 2 лінійно залежними будуть і вектори , , . Якщо ж не ||, то за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами = ?+?. То за властивістю 1 система векторів , , лінійно залежна. Теорему доведено
4. Координати вектора
Нехай (, , ) деякий базис простору , довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують єдині числа , , такі, що
= + + .
Коефіцієнти , , розкладу вектора за базисними векторами називаються координатами вектора в даному базисі. При цьому число називається першою координатою, число другою, а число третьою.
Якщо вектор в даному базисі має координати ,, , то скорочено це записують так: (, , ) або .
Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори , , і від деякої точки О простору (мал. 16): =, =, =, =.
Побудуємо паралелепіпед, ребра якого напрямлені вздовж прямих , , , а діагоналлю є відрізок OA. Тоді = + + , де = , = =, = .
Тому = ;
> 0, якщо і < 0, якщо ;
= ;
> 0, якщо і < 0, якщо .
Аналогічно, = ;
> 0, якщо і < 0, .
Отже, координата з точністю до знака дорівнює довжині відрізка виміряному в одиницях довжини . Знак же координати залежить від напрямку векторів і : > 0, якщо і < 0, якщо . Аналогічно зміст двох інших координат і .
Базисні вектори в самому базисі мають координати (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1).
Аналогічно визначаються координати вектора в просторі . Базис цього підпростору складається з двох не колінеарних векторів. Нехай система векторів , є базисом підпростору . Тоді за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами для будь-якого вектора із підпростору існують єдині числа , такі, що = + . Коефіцієнти , цього розкладу називаються координатами вектора в базисі (,). Число називається першою координатою, а число другою.
Аналогічним є і геометричний зміст координат вектора в підпросторі (мал. 17):
= + = + .
= ,
> 0, якщо і < 0, якщо ;
= ;
> 0, якщо і < 0, якщо .
Базисні вектори мають координати: (1; 0), (0; 1). Координати вектора в даному базисі повністю задають вектор.
Розглянемо властивості координат векторів.
Теорема