Метод векторів та його застосування
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
=; -1*=-. Ця властивість випливає безпосередньо з означення.
Властивість 3. Для будь-якого вектора і будь-яких дійсних чисел ? і ?: ?(?)=(??) .
Доведення. Нехай ?(?)=, (??) =. Доведемо, що =. Маємо:
=*=**,
=*=**.
Отже, =. Покажемо, що . Якщо ? і ? одного знаку, то вектор однаково напрямлений з і однаково напрямлений з .Отже, . У випадку коли числа ? і ? протилежних знаків, , . Отже, також , що й треба було довести.
Властивість 4. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто ?(+)=?+?, для , і ? R.
Доведення. Нехай ? > 0. Відкладемо вектори =, =, =?, =? (мал. 11). Тоді +=, ?+?=. Покажемо, що =?. Оскільки вектори і ? , і ? відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути A і у трикутників OAB і рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні: . Тому OAB ~ . Звідси випливає, що OAB=, а це означає, що промені OB і збігаються, тобто . Крім того =?*=*. Тому =?*.
Аналогічно розглядається випадок, коли ? <0 (мал. 12).
Випадок ? = 0 тривіальний. Отже, ? (+) = ?+?.
Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (?+?)=?+?, і ?, ? R.
Доведення. Розглянемо два можливих випадки: ?? >0 і ?? <0 (випадок ??=0 не викликає труднощів).
1. Нехай ?? >0, тобто числа ? і ? одного знаку. Тоді вектори (?+?) і ?+? однаково напрямлені. Крім того,
;
.
Отже, і вектори (?+?) та ?+? рівні.
2. Нехай ?? <0, тобто числа ? і ? різних знаків. Якщо ? = -?, то (?+?)=(-?+?)=0=0; ?+?= -?+ ?=0, отже, властивість справджується.
Якщо ?-?, тоді ?, ?+? або ?, ?+? одного знаку. Нехай, наприклад, -?, ?+? одного знаку. Тоді за доведеним (-?)+ (?+?)=(-?+?+?)=?(?+?)= ?+?, що і треба було довести.
2. Колінеарність векторів
Означення. Два ненульових вектори і називається колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.
Позначення: ||(мал. 13).
Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.
Теорема. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число ? таке, що =?. /1/
Доведення.
1. Необхідність. Нехай ||. Тоді або , або . Якщо , то =, оскільки ці вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі: ==. Позначивши ? =, дістанемо =?. Якщо , то аналогічно доводиться, що = -. Нехай ? = -, тоді також = ?.
2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді і або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.
Зауваження 1. Якщо = 0, 0, то теорема також справджується. У цьому випадку ? =0.
Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів і завжди існує тільки одне число ? таке, що = ? , то звідси формально можна написати: ? =, тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.
Відношення : двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте зі знаком плюс, якщо вектори і однаково напрямлені, і зі знаком мінус, якщо вектори протилежно напрямлені.
3. Компланарність векторів
Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними
якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.
Очевидно, що коли компланарні вектори ,, відкласти від довільної точки O (=, =,=), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).
Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, які лежать в одній площині.
Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ці вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них немає колінеарних.
Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори ,, компланарні, а вектори , неколінеарні, то існують єдині числа ?, ? такі, що: = ? + ?. /2/
Інакше кажучи, вектор можна розкласти за векторами і і до того ж єдиним способом.
Доведення. Доведемо спочатку існування чисел ? і ?, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =, =. Оскільки ці вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори і неколінеарні, тому O, A, B не лежать на одній прямій.
Можливі два випадки:
- Точка С належить прямій ОВ (мал. 15a). Тоді вектори
і колінеарні і, отже, за попередньою теоремою, = ?, де ? деяке число. Отже, =0*+ ?, тобто має місце розклад /2/.
- С
(ОВ). Проведемо || OB (мал. 15b). Тоді за правилом трикутника =+. Але ця рівність можлива тільки тоді, коли ? =, ? =. Дійсно, якби, наприклад, ? , то було б, ||, що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектора за векторами і . Теорему доведено.
Теорема 2. (про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори , , некомпланарні, то для будь-якого вектора , існують і притому єдині числа ?, ?, ? такі, що = ?+?+? .
<