Алгебраическая проблема собственных значений для матриц специального вида и ее программное обеспечение
Информация - Компьютеры, программирование
Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование
МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН
НАВОИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
РЕФЕРАТ
Тема: Алгебраическая проблема собственных значений для матриц специального вида и ее программное обеспечение
НАВОИЙ - 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1.Алгебраическая проблема собственных значений и собственных векторов
.1 Общая постановка
1.2 Характeристическое уравнение
.3 Алгебраическая кратность собственного значения
2.Классификация задач на собственные значения
2.1 Полная проблема собственных значений
2.2 Частичная проблема собственных значений
3.Вычислительные методы собственных значений и собственных векторов
3.1 Вычислительные методы полной проблемы собственных значений
3.2 Вычислительные методы частичной проблемы собственных значений
4.Программное обеспечение некоторых алгоритмов нахождения собственных значений и собственных векторов
4.1 Программы на языке С++
.2 М - файлы для системы MatLab
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
По большей части собственные векторы матрицы удается определить, используя промежуточные результаты вычислений, проведенных для определения коэффициентов характеристического полинома. Конечно, для определения собственного вектора, принадлежащего тому или другому собственному значению, это собственное значение должно быть уже вычислено. Методы этой группы являются точными, т.е. если их осуществлять для матриц, элементы которых заданы точно (рациональными числами) и вычисления проводить точно (по правилам действий над обыкновенными дробями), то в результате будет получено точное значение коэффициентов характеристического полинома, и компоненты собственных векторов окажутся выраженными точными формулами через собственные значения.
Наряду с точными методами для решения проблемы собственных значений имеются методы итерационные, в которых собственные значения получаются как пределы некоторых числовых последовательностей, так же как и компоненты принадлежащих им собственных векторов. В итерационных методах, как правило, собственные значения вычисляются непосредственно, без предварительного вычисления коэффициентов характеристического полинома, коэффициенты которого известны, достаточно трудоемко.
Однако итерационные методы более приспособлены к решению частичной проблемы собственных значений. Под частичной проблемой мы подразумеваем задачу нахождения одного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов.
Полная и частичная проблемы собственных значений совершенно различны как по методам их решения, так и по области приложений. Решение полной проблемы для матриц даже не очень высокого порядка неизбежно оказывается весьма громоздким, и возможность решения частичной проблемы, минуя тяжести решения полной, является очень ценной для практики.
Отметим, что все предлагаемые ниже методы, кроме метода Леверье (1840 г.) и метода Якоби (1846 г.), появились в тридцатых годах нашего столетия или позднее.
При изложении численных методов мы будем, как правило, предполагать элементы матриц вещественными.
1. Алгебраическая проблема собственных значений и собственных векторов
Проблема собственных значений (частот) возникает при анализе поведения мостов, зданий, летательных аппаратов и других конструкций, характеризующихся малыми смещениями от положения равновесия, а также при анализе устойчивости численных схем. Характеристическое уравнение вместе с его собственными значениями и собственными векторами является основным в теории механических и электрических колебаний на макроскопическом или микроскопическом уровнях.
.1 Общая постановка
Пусть - матрица порядка и - обратимая матрица со столбцами . Легко видеть, что равенство эквивалентно системе равенств
, .
Эти равенства подводят нас к важным понятиям собственного значения матрицы и собственного вектора.
Определение. Пусть - матрица порядка . Число и ненулевой столбец , связанные соотношением , называются собственным значением и собственным вектором матрицы . Пара , иногда называется собственной парой матрицы .
Теорема. Матрица порядка диагонализуема тогда и только тогда, когда она обладает линейно независимой системой собственных векторов.
Доказательство. Пусть - линейно независимая система собственных векторов матрицы , соответствующих собственным значениям :
. .
Матрица обратима как матрица с линейно независимыми столбцами.
Пример недиагонализуемой матрицы: . Допустим, что
.
Отсюда
.
Хотя бы одно из чисел должно отличаться от нуля. Пусть для определенности . Получаем противоречие, поскольку матрица с нулевым столбцом не может быть обратимой.
Теорема. Собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным значениям матрицы, являются линейно независимыми.
Пусть - собственные векторы для попарно различных собственных значений матрицы . Пусть . Умножим обе части слева на матрицу :
.
Из данного равенства вычтем предыдущее, умноженное на :
.
Отсюда ясно, что из линейной незави