Алгебраическая проблема собственных значений для матриц специального вида и ее программное обеспечение
Информация - Компьютеры, программирование
Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование
? значений матрицы методом А.M. Данилевского.
Сущность метода Данилевского заключается в приведении векового определителя к так называемому нормальному виду Фробениуса
Если нам удалось записать вековой определитель в такой форме, то, разлагая его по элементам первой строки будем иметь:
Таким образом задача сводится к нахождению матрицы P в форме Фробениуса подобной матрице A, так как собственные числа инвариантны относительно операции подобия. Процедура последовательно преобразует строки исходной матрицы, начиная с последней, к виду описанному выше, при этом преобразование осуществляется таким образом, чтобы полученные матрицы были подобны. Опишем первое из преобразований, которое приводит n-ую строку исходной матрицы A к необходимому виду. Вначале преобразуем матрицу A в матрицу B по следующим формулам:
bi j=ai j - ai n-1an i / an n-1 при i=1,..,n; j не равно n-1;i n-1=ai n-1 / an n-1, при i=1,..,n
Последняя строка построенной матрицы B будет удовлетворять нашим условиям, но не будет подобна матрице A, поэтому проведем еще одно преобразование и получим матрицу С подобную A и сохраняющую последнюю строку:
сi j=bi j при i=1,..,n-2
cn-1 j=an 1b1 j+an 2b2 j+ . . . +an nbn j при j=1,...,n
Таким образом получили матрицу С подобную A и с последней строкой как в матрице привеленного вида Фробениуса. Продолжая, преобразуем аналогично n-1 строку матрицы С и т.д. Допустим, что при преобразовании матрицы A в матрицу Фробенниуса P мы пришли к матрице вида:
причем оказалось, что dk k-1=0. Тогда преобразования методом Данилевского нельзя продолжить. Здесь возможны два случая: 1. Существует элемент dk l отличный от нуля, где l < k-1 , тогда переставляем местами (k-1) и l столбцы и (k-1) и l строки получаем матрицу подобную D для которой возможны дальнейшие преобразования по методу Данилевского. 2. Все элементы k строки равны нулю, тогда полученная матрица имеет вид:
Причем D2 имеет нормальный вид Фробениуса, а матрицу D1 можно привести к нему методом Данилевского. Полином же порождающий собственные значения матрицы А, есть произведение аналогичных полиномов для D1 и D2, при этом коэффициенты полинома для D2 определены. Процедура на вход получает матрицу A, а на выходе выдает матрицу C подобную A, при этом С имеет нормальный вид Фробениуса. Флаговая переменная S используется для определения случая когда дальнейшее преобразование не возможно, точнее: S=0 когда алгоритм успешно отработал, S > 0 когда на некотором шаге возник случай описанный в пункте 2, при этом S колличество строк в матрице D1.
Нахождение собственных значений матрицы методом Леверрье.
Процедура определяет коэффициенты характерестического полинома
матрицы A. Положим:
тогда справедливы формулы Ньютона:
Отсюда получаем линеиную алгебраическую систему:
Из которой шаг за шагом определяются коэффицитенты p1,...,pn. Следует заметить, что sk равен следу матрицы Ak.">, которая находятся непосредственным перемножением используя алгоритм умножения матриц .
Методика решения задачи
.Для заданной матрицы А составить характеристическое уравнение (2.5): .
Для развертывания детерминанта можно использовать различные методы, например метод Крылова, метод Данилевского или другие методы [2,9,14].
.Решить характеристическое уравнение и найти собственные значения . Для этого можно применить методы, изложенные в разд. 3.1.
.Для каждого собственные значения составить систему (2.4):
, ,
и найти собственные векторы .
Замечание. Каждому собственному значению соответствует один или несколько векторов. Поскольку определитель системы равен нулю, то ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: и в системе имеется ровно независимых уравнений, а уравнений является зависимыми. Для нахождения решения системы следует выбрать уравнений с неизвестными так, чтобы определитель составленной системы был отличен от нуля. Остальные неизвестных следует перенести в правую часть и считать параметрами. Придавая параметрам различные значения, можно получить различные решения системы. Для простоты, как правило, попеременно полагают значение одного параметра равным 1, а остальные 0.
Пример. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы
Решение. Составляем характеристическую матрицу :
Находим характеристический многочлен
Решим характеристическое уравнение
Подбором находим, что один корень уравнения равен . Есть теорема, которая говорит, что если число является корнем многочлена , то многочлен делится на разность , то есть , где- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен должен делиться на . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель :
Находим корни трехчлена . Они равны и 3. Таким образом,
- корень кратности 2 17.7 b, - простой корень. Итак, собственные числа матрицы равны , . Найдем соответствующие им собственные векторы. Пусть, тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение
что соответствует системе уравнений
).">Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алго