Алгебраическая проблема собственных значений для матриц специального вида и ее программное обеспечение
Информация - Компьютеры, программирование
Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование
наверное не имеет устойчивого решения.
Для осуществления указанного преобразования А.Н.Крылов вводит в рассмотрение дифференциальное уравнение, связанное с данной матрицей; одновременно он ставит вопрос о нахождении чисто алгебраического преобразования, переводящего уравнение.
Выяснению алгебраической сущности преобразования А.Н.Крылова посвящены работы Н.Н.Лузина [1], [2], И.Н.Хлодовского [1], Ф.Р. Гантмахера [1], Д.К.Фаддеева [1].
.2 Частичная проблема собственных значений
В частичной проблеме собственных значений, которая состоит, как было сказано выше, в определении одного или нескольких, как правило немногих, собственных значений матрицы и принадлежащих им собственных векторов. Своеобразие частичной проблемы заключается в том, что методы для ее решения должны основываться на косвенных соображениях, использующих те или другие свойства собственных значений и собственных векторов. Все методы для решения частичной проблемы являются итерационными методами.
Для построения этих методов используются две, по существу различные, основные идеи.
Первую идею мы поясним в предположении, что в пространстве существует базис из собственных векторов. Исходя из некоторого вектора, вообще говоря, произвольного, строят бесконечную последовательности все более преобладала одна составляющая в разложении по собственным векторам. Тогда построенная последовательность будет сходиться по направлению к выделенному собственному вектору. Попутно определяется и собственное значение. Процессы, основанные на этой идее могут быть применены и при отсутствии базиса из собственных векторов. В этом случае при их обосновании можно использовать разложение по каноническому базису. При этом некоторое видоизменение методов позволяет вычислять несколько векторов из канонического базиса.
Вторая идея основывается на экстремальных свойствах собственных значений и применима только к симметричным матрицам. Эта идея близка к идее релаксации для решения линейной системы уравнений. Методы, основанные на этой идее, дают последовательность векторов, все лучше реализующих максимум (или минимум) отношения .
Выбор поправок для перехода от предыдущего вектора к последующему может осуществляться различно. Важнейшая группа методов, использующих эту идею, в которых поправки берутся в направлении градиента функционала .
3. Вычислительные методы собственных значений и собственных векторов
Методы определения собственных значений и собственных векторов матрицы естественным образом делятся на две основные группы: прямые методы и итерационные.
Прямые методы состоят в том, что с помощью конечного числа подобных преобразований исходная матрица приводится к матрице более простого вида, для которой легко находятся коэффициенты характеристического многочлена и собственные векторы. При этом собственные значения находятся как корни характеристического многочлена каким-либо из методов.
Основным достоинством прямых методов является широкая область формального применения и большая скорость работы. Однако пользоваться ими надо очень осторожно, так как почти все они чувствительны к ошибкам округления результатов промежуточных вычислений. Объясняется этот факт следующим образом.
Пусть
есть характеристический многочлен матрицы А. Рассмотрим последовательность векторов , где
, .
Тогда коэффициенты характеристического многочлена будут удовлетворять системе линейных алгебраических уравнений
.
Оказывается [31], что многие методы (Крылова, Данилевского, Самуэльсона и т.д.) по существу являются методами решения этой системы специальном способом.
Устойчивость решения системы сильно зависит от матрицы А и начального вектора . Если матрица А имеет кратные собственные значения, то матрица системы обязательно будет вырожденной при любом векторе . Система с вырожденной матрицей не может иметь устойчивого решения, так как незначительным изменением коэффициентов ее вообще можно сделать можно сделать несовместной. Решение будет неустойчивым и в том случае, когда абсолютные значения коэффициентов разложения вектора по собственным векторам матрицы А имеют большой разброс.
Отмеченный недостаток отсутствует у прямых методов, основанных на унитарных преобразованиях матрицы А, но этих методах значительно сложнее определяются коэффициенты характеристического многочлена.
3.1 Вычислительные методы полной проблемы собственных значений
Различают полную и частичную проблему собственных значений, тогда необходимо найти весь спектр (все собственные значения) и собственные векторы либо часть спектра, например: и . Величина называется спектральным радиусом.
Метод непосредственного развертывания
Полную проблему собственных значений для матриц невысокого порядка можно решить методом непосредственного развертывания. В этом случае будем иметь
(2.5)
Уравнение является нелинейным (методы его решения изложены в следующем разделе). Его решение дает , вообще говоря, комплексных собственных значений при которых . Для каждого можеть быть найдено решение однородной системы , . Эти решения , определенные с точностью до произвольной константы, образуют систему , вообще говоря, различных векторов - мерного пространства. В некоторых задачах несколько этих векторов (или все) могут совпадать.
Нахождение собственны?/p>