Алгебраическая проблема собственных значений для матриц специального вида и ее программное обеспечение
Информация - Компьютеры, программирование
Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование
ритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)" ). Выписываем расширенную матрицу системы
Первую строку, умноженную на числа и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам
Меняем местами вторую и третью строки
Возвращаемся к системе уравнений
Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные и оставляем в левой части, а переменное переносим в правую часть
Полагаем , находим , . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор .
Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение
что соответствует системе уравнений
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу
Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам
Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей
Возвращаемся к системе уравнений
Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные и оставляем в левой части, а переменное переносим в правую часть
Полагаем , находим, . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор. Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор.
Ответ: Собственные числа: ,, соответствующие собственные векторы: , .
.2 Вычислительные методы частичной проблемы собственных значений
Метод итераций
Для решения частичной проблемы собственных значений и собственных векторов в практических расчетах часто используется метод итераций (степенной метод). На его основе можно определить приближенно собственные значения матрицы А и спектральный радиус .
Пусть матрица А имеет линейно независимых собственных векторов , и собственные значения матрицы А таковы, что
.
Степенной метод решения частичной проблемы собственных значений.
Степенной метод применяется для нахождения максимального по модулю собственного значения матрицы. k-ое приближение к этому значению вычислется так:
, (10.1)
Теорема 10.1. Пусть матрица A имеет полную систему из ортонормированных собственных векторов ei , которым соответсвуют собственные значения l(i) , причем
|l(1)| > |l(2)| ... |l(n)| (т.е. вектора занумерованы в порядке невозрастания модуля собственного значения, причем собственное значение l(1) - не кратное).
Тогда итерационный процесс (10.1) сходится к собственному значению l(1), причем
.(10.2).
При этом величины сходятся к собственному вектору e1 (c точностью до постоянного сомножителя, по модулю равного 1):
.(10.3)
4. Программное обеспечение некоторых алгоритмов нахождения собственных значений и собственных векторов
Матрица как математический объект возникает при решении конкретных вычислительных задач, и в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений и задач на собственные значения. Матрица в виде прямоугольной таблицы чисел очень схожа с массивом, однако прикладные задачи, которые порождают матрицы, определяют для них специальную совокупность допустимых операций, среди которых особое место занимает операция умножения. Для простейшего случая, когда умножается вектор-строка на вектор-столбец, такой операцией является операция скалярного произведения.
Матрицы широко используются при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных, решении оптимальных задач и т. п.
Алгебраические задачи, связанные с матрицами, объединяются в раздел математики, получивший название линейной алгебры, который включает такие базисные задачи, как обращение и псевдообращение матриц, спектральное и сингулярное разложение матриц.
В вычислительном плане раздел линейной алгебры поддержан пакетами прикладных программ LINPACK, EISPACK, разработанными в 60-70-е годы ведущими специалистами, к числу которых принадлежит и основатель фирмы The MathWorks, Inc. Моулер (C. Moler). Изначальное назначение системы MATLAB состояло именно в том, чтобы создать диалоговую среду для работы с пакетами программ линейной алгебры.
Несмотря на кажущуюся завершенность, этот раздел развивается и в настоящее время в направлении создания новых операций: для работы с парами матриц (приведение пары матриц к форме Шура, рекуррентное сингулярное разложение пары прямоугольных матриц), решения матричных полиномов и полиномиальных матричных уравнений.
Рассмотрим функции системы MATLAB, которые поддерживают работу с матрицами, в следующей последовательности: характеристики матриц, решение систем линейных уравнений, вычисление собственных значений и сингулярных чисел, вычисление функций от матриц, работа с алгебраическими полиномами.
Вычисление собственных значений и сингулярных чисел
-