Алгебраическая проблема собственных значений для матриц специального вида и ее программное обеспечение
Информация - Компьютеры, программирование
Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование
симости векторов вытекала бы линейная независимость векторов . Доказательство завершается применением индукции.
Следствие. Если матрица порядка имеет различных собственных значений, то она диагонализуема.
.2 Характeристическое уравнение
Пусть -произвольное собственное значение матрицы . При фиксированном все соответствующие ему собственные векторы удовлетворяют однородной системе линейных алгебраических уравнений
.
Число является собственным значением матрицы данная система имеет нетривиальное решение .
Определение. Уравнение относительно называется характеристическим уравнением матрицы . Левая часть этого уравнения есть многочлен степени от , называемый характеристическим многочленом матрицы .
Утверждение. Характеристический многочлен матрицы имеет вид
,
где есть сумма всех миноров матрицы порядка , расположенных на пересечении столбцов и строк с одинаковыми номерами.
Доказательство. Чтобы получить коэффициент , нужно среди членов определителя
Выбрать те и только те члены , которые содержат произведение ровно диагональных членов вида (они и только они являются многочленами степени от ), в каждом из них выделить слагаемое старшей степени вида и просуммировать полученные коэффициенты . Очевидно, что сумма всех , отвечающих диагональным элементам в фиксированных позициях , будет равна минору матрицы , расположенному на строках и столбцах, дополнительных к строкам и столбцам с номерами .
В частности, - величина, называемая следом матрицы . Обозначение: . В силу формул Виета, след равен сумме всех собственных значений с учетом кратностей. Заметим также, что .
При собственные значения (как корни многочлена степени ) могут быть выражены в радикалах через коэффициенты характеристического многочлена и, следовательно, через элементы матрицы. При таких формул уже не существует (знаменитый результат Абеля, Руффини и Галуа).
1.3 Алгебраическая кратность собственного значения
Кратность собственного значения как корня характеристического многочлена называется его алгебраической кратностью. Из основной теоремы алгебры сразу же вытекает следующая
Теорема. Любая комплексная матрица А порядка имеет комплексных собственных значений с учетом алгебраических кратностей совпадают
Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.
Доказательство. Пусть где - обратимая матрица. Тогда
.
Следствие. Собственные значения и их алгебраические кратности для подобных матриц совпадают.
2. Классификация задач на собственные значения
Перечислим некоторые возможные постановки проблемы собственных значений.
I. Полная проблема собственных значений. Заключается в задаче поиска всех собственных чисел заданной матрицы. В некоторых случаях вычисление также и собственных векторов.
II. Частичная проблема собственных значений. Заключается в вычислении некоторого подмножества собственных чисел, а также, возможно, требуется соответствующих им собственных векторов. Этим подмножеством может быть: а) к наибольших (наименьших) собственных чисел; б) собственные значения, принадлежащие заданному интервалу.
С другой стороны, при решении проблемы собственных значений все матрицы разбиваются на два класса, существенно различающих по свойствам: эрмитовы матрицы (в вещественном случае симметричные) и неэрмитовы (в вещественном случае несиметричные). По этому признаку выделяют симметричную проблему собственных значений и несимметричную. Каждый из этих классов в свою очередь может быть разбит на подклассы. При этом удобно выделять в подклассы матрицы, для которых развиты какие нибудь специальные методы или имеются эффективные модификации методов, применяемых в общем случае. Отдельной задачей, представляющей существенный интерес для различных инженерных расчетов, выделяют проблему собственных значений для матрицы А, то есть задачу вычисления сингулярных чисел (возможно, и сингулярных векторов). Для задач подобного рода имеется отдельная группа алгоритмов.
2.1 Полная проблема собственных значений
При постановке проблемы собственных значений для матриц, элементы которых заданы приближенно, естественно возникает вопрос об устойчивости полученного решения, иными словами, вопрос о том, как изменяются собственные значения и собственные векторы при изменении элементов данной матрицы в пределах допустимой погрешности.
То, что в отдельных случаях проблема собственных значений не может быть устойчивой, ясно из следующих соображений. Допустим, что данная матрица, если ее численное задание рассматривать как точное, имеет лишь простые собственные значения, однако, при некотором определенном изменении ее элементов в пределах точности задания можно придти к матрице, имеющей кратное собственное значение, с нелинейным элементарным делителем. В этом случае каноническая форма матрицы при изменении ее элементов в пределах точности задания претерпевает качественное изменение, переходя от чисто диагональной формы к общей канонической форме. В частности, даже число собственных векторов изменяется скачкообразно. В этих условиях, конечно, полная проблема собственных значений, вместе с определением собственных векторов, просто теряет смысл. В условиях же, близких к описанной ситуации, проблема определения собственных векторов