Конечные сверхразрешимые группы
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Содержание
Введение
Глава 1. Вспомогательные определения и утверждения
Глава 2. Конечные сверхразрешимые группы
Глава 3. Примеры
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Теория групп имеет большую и содержательную историю. Возникшая в связи с теорией Галуа и для нужд этой теории, она развивалась сперва в качестве теории конечных групп подстановок (Коши, Жордан, Силов). Довольно скоро обнаружилось, однако, что для большинства вопросов, интересовавших эту теорию, не является существенным тот специальный материал-подстановки,-который использовался для построения групп, и что на самом деле речь идет об изучении свойств одной только алгебраической операции, определенной в множестве, состоящем из конечного числа элементов произвольной природы. Это открытие, представляющееся в настоящее время тривиалным, оказалось в действительности весьма плодотворным и привело к созданию общей теории конечных групп. Правда, переход от групп подстановок к произвольным конечным группам не называл по существу расширения запаса изучаемых объектов, однако он перевел теорию на аксиоматические основы, придав ей стройность и прозрачность и облегчив этим ее дальнейшее развитие.
Старейшей и по-прежнему интенсивно развивающейся ветвью теории групп является теория конечных групп. Достаточно хорошо изученным в теории конечных групп является класс всех абелевых групп. Разрешимые группы представляют собой очень широкое обобщение абелевых групп и лишь весьма немногие нетривиальные свойства последних удается распространить на разрешимые группы. Групповым свойством, качественно более сильным, чем разрешимость, является сверхразрешимость.
Целью данной курсовой работы является изучение конечных сверхразрешимых групп.
Для достижения поставленной цели предполагается решить следующие задачи:
) изучить замкнутость класса всех конечных сверхразрешимых групп относительно подгрупп, фактор-групп и прямых произведений;
) изучить свойства подгрупп конечной сверхразрешимой группы;
) привести примеры конечных сверхразрешимых групп.
Работа состоит из трех глав. В первой главе содержатся вспомогательные определения и утверждения, используемые в основном тексте курсовой работы. Вторая глава посвящена изучению конечных сверхразрешимых групп. В третьей главе приведены примеры конечных сверхразрешимых групп.
Глава 1. Вспомогательные определения и утверждения
Все используемые в дальнейшем обозначения и определения можно найти в [1-5].
Определение 1.1. Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1)операция определена на G, то есть , для всех .
(2)операция ассоциативна, то есть , для любых .
(3)в G существует единичный элемент, то есть такой элемент , что для всех .
(4)каждый элемент обладает обратным, то есть для любого существует такой элемент , что .
Определение 1.2. Абелева группа - группа с коммутативной операцией.
Определение 1.3. Если -конечное множество, являющееся группой, то называют конечной группой, а число элементов в -порядком группы .
Определение 1.4. Подмножество группы называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующие обозначение: Запись читается так: - подгруппа группы
Определение 1.5. Максимальная подгруппа - такая подгруппа, что не существует других подгрупп её содержащих (не совпадающих с самой подгруппой).
Определение 1.6. Пусть - непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через . Таким образом,
Определение 1.7. Центром группы называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы обозначается через Ясно, что, т.е. центр группысовпадает с центролизатором подмножества в группе . Кроме того,
Определение 1.8. Зафиксируем элемент в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом, .
Определение 1.9. Пусть - подмножество группы и через обозначим подмножество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы множества . Подмножество называется подмножеством, сопряженным подмножеству посредством элемента
Пусть H - подгруппа группы G. Подгруппа называется подгруппой, сопряженной подгруппе посредством элемента .
Определение 1.10. Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,
.
Определение 1.11. Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех Запись читается так: -нормальная подгруппа группы . Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .
Лемма 1.1. [1, лемма 6.4.] Пусть Н - нормальная подгруппа группы G. Тогда:
(1)
(2)
(3)
(4).
Определение 1.12. Пусть - группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы Аналогично определяется левый смежный класс
Определение 1.13. И