Конечные сверхразрешимые группы
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
>
причём для вех i. Далее
и фактор-группа циклическая. Итак, ряд нормальный и его факторы циклические. Поэтому подгруппа U сверхразрешима.
Пусть . Рассмотрим ряд
Ясно, что для всех , поэтому ряд нормальный.
Далее,
поэтому факторы ряда циклические и фактор-группа сверхразрешима.
(2)Пусть G и H - сверхразрешимые группы. Тогда группы G и H обладают нормальными рядам
с циклическими факторамиРассмотрим прямое произведение и построим ряд
Этот ряд нормальный и его факторы циклические.
(3) Пусть группа сверхразрешима. Тогда группа обладает нормальным рядом с циклическими факторами. Так как циклическая, то разрешима. Так как и циклические, то они разрешимы, поэтому разрешима по лемме 1.2. Теперь и разрешимы, значит и разрешима по лемме 1.2, и т.д. Через конечное число шагов получаем, что группа разрешима.
Лемма 2.2 [1, Лемма 26.2]. (1) Если группа G содержит нормальную циклическую подгруппу K и фактор-группа G/K сверхразрешима, то группа G сверхразрешима.
(2) Если фактор-группа G/Z(G) сверхразрешима, то группа G сверхразрешима.
(3) Нильпотентная группа сверхразрешима.
Доказательство.
(1)Так как G/Kсверхразрешима, то имеется нормальный ряд
с циклическими факторами Рассмотрим ряд
Так как то и ряд нормальный.
Кроме того, факторы циклические дляДалее, - циклическая группа. Значит ряд нормальный с циклическими факторами и группа сверхразрешима.
(2)Пусть . Так как сверхразрешима, то имеется нормальный ряд
с циклическими факторами Поскольку в абелевой группе максимальные подгруппы имеют простые индексы, то группа обладает рядом
с факторами простых порядков. Рассмотрим ряд
Так как , то Поскольку все подгруппы из центра группы нормальны в группе, то ряд нормальный. Кроме того, факторы
циклические дляа факторы
имеют простые порядки. Значит ряд нормальный с циклическими факторами и группа сверхразрешима.
(3)Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть G - нильпотентная группа и . Тогда K имеет простой порядок. По индукции фактор-группа сверхразрешима. Теперь группа G сверхразрешима по (1).
Лемма 2.3 [1, Лемма 26.3]:
Группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда она обладает главным рядом с факторами простых порядков.
Доказательство.
Пусть G сверхразрешима. Тогда она имеет нормальный ряд с циклическими факторами . Так как и циклическая, то по лемме 1.2, все подгруппы в характеристические. Пусть - подгруппа простого индекса в . Тогда
следовательно по лемме 1.3, и ряд
нормальный с циклическим фактором простого порядка. Повторяя эти действия, через конечное число шагов придём к главному ряду с факторами простых порядков.
Обратно, если группа G имеет главный ряд с факторами простых порядков, то этот ряд будет нормальным, а его факторы циклическими. Значит группа G будет сверхразрешимой.
Теорема 2.1. [1, теорема 26.4]. (1) Максимальные подгруппы сверхразрешимой группы имеют простые индексы
(2) В сверхразрешимой группе каждая минимальная нормальная подгруппа имеет простой порядок.
Доказательство.
(1)Пусть G - сверхразрешимая группа и . По лемме 2.3 группа G имеет главный ряд
с факторами простых порядков. Зафиксируем число i такое что , но . Поскольку и , то и
Но и , поэтому либо , либо . Поскольку, , то и .
(2)Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть . По лемме 2.3 в группе G существует минимальная нормальная подгруппа K простого порядка. Если , то N=K и утверждение справедливо. Пусть . По лемме 1.4, подгруппа - минимальная нормальная подгруппа фактор-группы . По индукции - простое число.
Лемма 2.4 [1, Лемма 26.5]. Если G - сверхразрешимая группа и p-наибольший простой делитель порядка G, то силовская p-подгруппа группы G нормальна.
Доказательство.
Воспользуемся индукцией по порядку группы G. Пусть Тогда - простое число теореме 2.1. Фактор-группа сверхразрешима. По индукции, т.е. Если то и Пусть тогда . Так как фактор-группа по теореме 1.6, является циклической группой порядка то и Но теперь, следовательно .
Глава 3. Примеры
Заметим, что можно привести пример конечной неабелевой группы, которая является сверхразрешимой.
Пример 3.1. Группа кватернионов Q сверхразрешима, но не абелева.
Пусть Q= - группа кватернионов, порожденная матрицами A= и B=.
Элементами группы Q являются матрицы:
, , ,
.
Таким образом, =8=23. Следовательно, в силу примера 3.1 группа кватернионов Q сверхразрешима.
Однако группа Q не является абелевой.
Действительно,
AB= = ? = = BA.
Согласно пункту (3) леммы 2.2. каждая нильпотентная группа сверхразрешима. Обратное утверждение в общем случае не верно. Приведем соответствующий пример.
Пример 3.2. Симметрическая группа S3 степени 3 сверхразрешима, но не нильпотентна.
Пусть S3 - симметрическая группа степени 3. Найдем все ее собственные подгруппы.
Н1 = <> = <{,},
Н2 = <> = <{,},
Н3 = <> = <{,}, ,
Н4 = <> = <{,, },.
Подгруппа Н1 не является нормальной подгруппой группы S3. Действительн?/p>