Конечные сверхразрешимые группы
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ндекс подгруппы - число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы в данной подгруппе.
Определение 1.14. Группа называется фактор-группой группы по группе и обозначается через .
Теорема 1.1. [1, теорема 6.10 ]. (Теорема о соответствии) Пусть H - нормальная подгруппа группы G. Тогда:
(1)если U - подгруппа группы G и , то - подгруппа фактор-группы
(2)каждая подгруппа фактор-группы имеет вид , где V - подгруппа группы G и ;
(3)отображение является биекцией множества S(G,H) на множество S();
(4)если S(G,H), то N - нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа фактор-группы .
Определение 1.15. Пусть р-простое число. р-Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа р. Конечная группа называется примарной, если она является p-группой для некоторого простого р.
Определение 1.16. Силовской р-подгруппой конечной группы называют такую р-подгруппу, индекс которой не делится на р.
Определение 1.17. Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.
Определение 1.18. Две группы и называются изоморфными, если существует биекция такая, что для всех Факт изоморфизма записывают так:
Теорема 1.2.[1, теорема 8.4.]. Пусть H - нормальная подгруппа группы G. Тогда для любой подгруппы A пересечение является нормальной подгруппой в подгруппе А, а отображение является изоморфизмом групп .
Теорема 1.3. .[1, теорема 8.5.] Если N и H - нормальные подгруппы группы G, причём , то изоморфна .
Определение 1.19. Положив в определении изоморфизма, получим изоморфное отображение группы G на себя, которое называют автоморфизмом группы G. Совокупность всех автоморфизмов группы G обозначим через AutG.
Теорема 1.4. Совокупность AutG всех автоморфизмов группы G является группой.
Теорема 1.5. Пусть G - группа и H - её подгруппа. Тогда и изоморфна подгруппе группы автоморфизмов H.
Теoрема 1.6.
(1)Если - бесконечная циклическая группа, то - группа порядка 2.
(2)Если - конечная циклическая группа порядка n, то изоморфна группу всех обратимых элементов полугруппы .
(3)Группа автоморфизмов циклической группы абелева.
(4)Группа автоморфизмов группы простого порядка p является циклической группой порядка p-1.
Определение 1.20. Пусть -подгруппа группы и -автоморфизм группы . Если для всех то называют характеристической подгруппой группы и пишут В каждой группе единичная подгруппа и вся группа являются характеристическими подгруппами. Если в группе не других (отличной от единичной подгруппы и всей группы) характеристических подгрупп, то группа называется характеристически простой.
Лемма 1.2. [1, лемма 9.7]. Каждая подгруппа конечной циклической группы характеристическая.
Лемма 1.3. [1, лемма 9.10]. Пусть Тогда:
(1) если H char K, K char G, то H char G;
(2) если H char K, то .
Определение 1.21. Цепочка подгрупп
называется рядом длины а неединичной группы G и обозначается через .
Определение 1.22. Ряд называется нормальным, если для всех i.
Определение 1.23. Ряд называется субнормальным, если для всех i.
Определение 1.24. Пусть - субнормальный ряд конечной группы G. Фактор-группы называются факторами ряда.
Определение 1.25. Числа - индексы ряда.
Определение 1.26. Нормальный ряд конечной группы G называется главным, если подгруппа является максимальной нормальной подгруппой группы G, содержащейся в .
Определение 1.27. Пусть теперь и - произвольные группы. На множестве определим операцию (умножение) следующим образом: где . Множество превращается в группу с единичным элементом , где - единичный элемент группы , и обратным элементом
Группу называют прямым произведением групп .
Определение 1.28. Минимальной нормальной подгруппой группы G называют такую нормальную подгруппу N группы G, что и в N нет нетривиальных нормальных подгрупп группы G.
Лемма 1.4. [1, лемма 13.1]. Пусть Тогда:
(1)если то либо , либо
и
(2)если N абелева и NH=G для некоторой собственной подгруппы H группы G, то ;
(3)если и , то
Определение 1.29. Коммутатором элементов a и b называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .
Определение 1.30. Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы G, называется коммутантом группы G и обозначается через . Таким образом,.
Определение 1.31. Для любой неединичной группы G можно построить целую цепочку коммутантов
Если существует номер n такой, что , то группа G называется разрешимой.
Лемма 1.5. [1, лемма 21.2.].
(1) Подгруппы и фактор-группы разрешимой группы разрешимы;
(2) Если и разрешимы, то G разрешима;
(3) Прямое произведение разрешимых групп является разрешимой группой.
Глава 2. Конечные сверхразрешимые группы
сверхразрешимый группа лемма
Определение 2.1. Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.
Лемма 2.1 [1, Лемма 26.1].
(1)Каждая подгруппа и каждая фактор-группа сверхразрешимой группы сверхразрешимы.
(2)Прямое произведение сверхразрешимых групп является сверхразрешимой группой.
(3)Сверхразрешимая группа разрешима.
Доказательство:
(1)Пусть группа G сверхразрешима. Тогда группа G обладает нормальным рядом с циклическими факторами:
и фактор-группы циклические для всех i. Пусть и Тогда подгруппа U имеет ряд