Квазирешетки в прикладных задачах обработки цифровой информации
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
-1 - вес для явной части
Причем . При ?=1 имеем полностью неявную схему, при ?=0 - полностью явную схему, а при ?=1/2 - схему Кранка-Николсона.
В соответствии с гармоническим анализом для схемы (2.23) получаем неравенство
,
(2.24)
причем правое неравенство выполнено всегда.
Левое неравенство имеет место для любых значений ?, если . Если же вес ? лежит в пределах , то между ? и ? из левого неравенства устанавливается связь
(2.25)
являющаяся условием устойчивости неявно-явной схемы с весами (23), когда вес находится в пределах .
Таким образом, неявно-явная схема с весами абсолютно устойчива при и условно устойчива с условием (2.25) при .
Рассмотрим порядок аппроксимации неявно-явной схемы с весами, для чего разложим в ряд Тейлора в окрестности узла (xj,tk) на точном решении значения сеточных функций по переменной t, , по переменной х и полученные разложения подставим в (2.23):
В этом выражении дифференциальный оператор от квадратной скобки в соответствии с дифференциальным уравнением равен дифференциальному оператору , в соответствии с чем вышеприведенное равенство приобретает вид
После упрощения получаем
,
откуда видно, что для схемы Кранка-Николсона (? = 1/2) порядок аппроксимации схемы (2.23) составляет , т.е. на один порядок по времени выше, чем для обычных явных или неявных схем. Таким образом, схема Кранка-Николсона при ? = 1/2 абсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации по времени и пространственной переменной х.
Используем в уравнение (2.23) подстановку r=a2k/h2. Но в то же время его нужно решить для трех "еще не вычисленных" значений , , и . Это возможно, если все значения перенести в левую часть уравнения. Затем упорядочим члены уравнения (2.23) и в результате получим неявную разностную формулу
(2.26)
для i=2,3,…,n-1. Члены в правой части формулы (2.26) известны. Таким образом, формула (2.26) имеет вид линейной трехдиагональной системы АХ=В. Шесть точек, используемых в формуле Кранка-Николсона (2.26), вместе с промежуточной точкой решетки, на которой основаны численные приближения, показаны на рисунке 5.
Рисунок 2.6 - Шаблон (схема) метода Кранка-Николсона
Иногда в формуле (2.26) используется значение r=1. В этом случае приращение по оси t равно , формула (2.26) упрощается и принимает вид
, (2.27)
для i=2,3,…,n-1. Граничные условия используются в первом и последнем уравнениях (т. е. в и соответственно).
Уравнения (2.27) особенно привлекательны при записи в форме трехдиагональной матрицы АХ = В.
Если метод Кранка-Николсона реализуется на компьютере, то линейную систему АХ = В можно решить либо прямым методом, либо итерационным.
.3 Постановка задачи
Используем метод Кранка-Николсона, чтобы решить уравнение
,
где x?(0;1),
t?(0;0.1),
с начальным условием
,
где t=0,
x?(0;1),
и граничными условиями
u(0,t) = g1(t) ? 0,
u(1,t) = g2(t) ? 0.
Решение будем искать в ППП MatLab 2007. Создадим четыре выполняемых m-фала: crnich.m - файл-функция с реализацией метода Кранка-Николсона; trisys.m - файл-функция метода прогонки; f.m - файл-функция задающая начальное условие задачи; fе.m - файл-функция задающая функцию определяющую точное решение задачи(найдена аналитическим путем). Листинги программ представлены в приложении А.
Для простоты возьмем шаг ?х = h = 0,1 и ?t = к = 0,01. Таким образом, соотношение r =1. Пусть решетка имеет n=11 столбцов в ширину и m=11 рядов в высоту.
Решения для данных параметров отразим в таблице 1. Трехмерное изображение данных из таблицы покажем на рисунке 5.
Таблица 2.1 - Значения u(хi, ti), полученные методом Кранка- Николсона
xi00.10.20.30.40.50.60.70.80.91ti001.11801.53881.11800.363300.36331.11801.53881.118000.0100.61690.92880.86210.61770.49050.61770.86210.92880.616900.0200.39420.64800.71860.68000.64880.68000.71860.64800.394200.0300.28870.50670.62530.66650.67330.66650.62530.50670.288700.0400.23310.42580.55600.62510.64580.62510.55600.42580.233100.0500.19950.37200.49960.57540.60020.57540.49960.37200.199500.0600.17590.33150.45110.52530.55040.52530.45110.33150.175900.0700.15740.29810.40820.47780.50150.47780.40820.29810.157400.0800.14190.26930.36980.43380.45580.43380.36980.26970.141900.0900.1830.24370.33510.39360.41370.39360.33510.24370.128300.100.11610.22080.30380.35700.37530.35700.30380.22080.11610
Величины, полученные методом Кранка-Николсона, достаточно близки к аналитическому решению
u(x,t) = sin(?x)e-?2t+ sin(3?x)e-9?2t,
истинные значения для последнего представлены в таблице 2.2
Максимальная погрешность для данных параметров равна 0,005
Таблица 2.2 - точные значения u(хi, ti), при t=0.1
xi00.10.20.30.40.50.60.70.80.91t110.100.11530.21920.30160.35440.37260.35440.30160.21920.11530
Рисунок 2.7 - Решение u=u(хi, ti), для метода Кранка-Николсона
.4 Квазирешетки с применением полиномов Бернштейна
В вычислительной математике многочлены Бернштейна - это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна.
Базисные многочлены Бернштейна степени n находятся по формуле
и обладают следующими свойствами:
при и всех k=0, 1,…,n
Рисунок 2.8 - Заданная область
Опишем, заданную область уравнениями границы:
.
И нормали к данным уравнениям выглядят так:
.
Тогда уравнения границ будут выглядеть следующим образом:
Запишем коэффициенты обобщения полинома Берштейна с учетом того, что
:
При n=1 узлы решетки будут находиться в вершинах пятиугольника. При n=2, к узлам в вершинах прибавляется еще узлы на сере?/p>