Квазирешетки в прикладных задачах обработки цифровой информации
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ой будут рассматриваться ниже.
Рассмотрим некоторую задачу математической физики в операторной форме:
в D,
на ?D, (1.1)
где А - линейный оператор, , . В данном случае Ф и F - гильбертовы пространства с областями определения элементов в и соответственно, а - линейный оператор граничного условия, , где G - гильбертово пространство функций с областью определения .
Наряду с уравнением (1.1) рассмотрим уравнение в конечномерном пространстве сеточных функций
в ,
на , (1.2)
где Ah - линейный оператор, зависящий от шага сетки h, , а - пространства сеточных функций. Здесь - множество внутренних узловых точек области D, a - множество узловых точек, на которых аппроксимируется граничное условие задачи, - линейный оператор, , евклидово пространство сеточных векторов с областью определения .
Введем в сеточных пространствах , G, , соответственно нормы , . Пусть - линейный оператор, который элементу ставит в соответствие элемент так, что . При таких условиях, задача (1.2) аппроксимирует задачу (1.1) с порядком n на решении ?, если существуют положительные константы , такие, что для всех выполняются неравенства
(1.3)
.
В тех случаях, когда решение ? задачи (1.1) обладает достаточной гладкостью, порядок аппроксимации удобно находить с помощью нормы, естественной для пространства непрерывных и дифференцируемых функций. С этой целью обычно пользуются разложением решения и других функций, участвующих в задаче, в ряды Тейлора.
В дальнейшем будем полагать, что редукция задачи (1.1) к задаче (1.2) осуществлена и, более того, граничное условие из (1.2) использовано для исключения значений решениями граничных точках области . В результате приходим к эквивалентной задаче
(1.4)
При этом значения решения в граничных точках найдутся из уравнения (1.2) после того, как будет построено решение уравнения (1.4). В некоторых случаях удобно пользоваться записью аппроксимационной задачи в форме (1.4), а в некоторых - в форме (1.2). Итак, в результате проведенной редукции и с учетом требуемой аппроксимации задача с непрерывным аргументом (1.1) приводится к задаче линейной алгебры (1.4), заключающейся в решении системы алгебраических уравнений.
В дальнейшем в основном будут использоваться гильбертовы пространства сеточных функций и соответствующая норма будет определяться (если не оговорено особо) соотношением . Однако необходимо отметить, что многие из вводимых понятий (аппроксимация и т. д.) можно перенести на случай банаховых.
Рассмотрим задачу:
в D, на ?D (1.5)
Положим, что областью определения D является множество {(х, у): 0 < x < 1, 0 < y < 1}, а f - гладкая функция.
Квадрат покроем равномерной по х и по у сеткой с шагом h. Узлы области будем отмечать двумя индексами (k, l), где первый индекс k (0 ? k ? n) соответствует точкам деления по координате x, а второй индекс l (0 ? l ? n) - по у. Рассмотрим следующие аппроксимации:
где , , , - разностные операторы, определенные как
,
где - разностный оператор Лапласа. Если расписать более подробно, то получим следующие выражения:
Тогда задача (1.5) может быть аппроксимирована следующей функцией:
в ,
на , (1.6)
где - множество узлов, принадлежащих границе. С учетом изложенного задача (1.6) может быть приведена к виду
в ,
на , (1.7)
где и - векторы с компонентами и и
В приведенных здесь схеме в качестве берется некоторое усреднение f(x, y), вычисленное по приведенной выше формуле. Это обстоятельство, вообще говоря, позволяет рассматривать разностные схемы при f(x, y), не обладающей предполагаемой в данном примере достаточной гладкостью. В последних случаях можно также получить соответствующие оценки ошибок аппроксимаций.
Введем в рассмотрение пространство решений . За область определения элементов из примем . Вектор принадлежит пространству Fh с областью определения . Разлагая решение по формуле Тейлора в окрестности точки и предполагая ограниченность производных по x и у вплоть до четвертого порядка, будем иметь
где - произвольная точка области
Аналогичное разложение будем иметь и для функции f(x, y). Введем в пространстве Fh норму
.
Аналогично вводится норма в пространстве Gh. В качестве возьмем вектор, компонентами которого являются значения функции в соответствующем узле сетки. Тогда, используя указанные выше разложения для и f получим
, (1.8)
где
.
Аппроксимация граничных условий в этом случае является точной.
Из последнего утверждения и оценки (1.8) следует, что задача (1.7) аппроксимирует задачу (1.5) со вторым порядком на решениях задачи (1.5), имеющих ограниченные четвертые производные.
.2 Квазирешетки и их своиства
Одномерная квазирешетка Фибоначчи F представляет собою подмножество из R, состоящее из точек с параметрами N из множества целых чисел Z, где [*] обозначает целую часть числа и - золотое сечение. Квазирешетка F не является периодической, т.е. равенство F +t = F возможно только при t = 0.Если поставить себе целью найти другие аналогичные F квазирешетки, то один из естественных подходов - это ввести в рассмотрение квадратную квазирешетку Фибоначчи F2 = F F ( рис. 1.1). С помощью „Cut and Project" метода квазирешетку F2 можно характеризовать равенством
(F2)' = O2 ? J2, (1.9)
где