Квазирешетки в прикладных задачах обработки цифровой информации
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?инах сторон и внутренний узел в данном случае это будет точка с координатой (0.3808, 0.5401) (приложение B).
Для нахождения узлов решетки и значения функции в этой точке, для случая n=3, решаются дифференциальные уравнения вида:
с начальными условиями
Применяя в Maple 11 такую последовательность операторов:
Рисунок 2.9 - Нахождение внутреннего узла заданной области
fsolve({diff(ld1^2*ld3,x)=0,diff(ld1^2*ld3,y)=0},{x=0.2, y=0.5});
evalf(ld1*ld2);
(1. + 0.8090169942 x - 0.8312538757 y) (1. + 1.144122805 x + 0.8312538757 y)^2(1. - 0.3090169942 x + 0.5877852520 y)^2*U^2*(1. - 1. x)(DEtools):
> DE := (diff(U, x))^2+(diff(U, y))^2;
> with(Optimization);
> Minimize(DE);
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основным результатом дипломной работы является разработка алгоритма разбиения квазирешеткой и его программный расчет. В качестве среды разработки программного средства была выбрана MatLab R2007b и Maple 11 в связи с тем, что они позволяет качественно и быстро произвести расчет.
В результате внедрения программного продукта достигнут следующий положительный эффект: возможность быстро найти координаты узлов, а так же рассчитать значение функции в узлах.
Приложение удовлетворяет необходимым требованиям к сходимости, ошибки аппроксимации, имеет хорошие перспективы для дальнейшего развития, добавление новых узлов и повышение производительности до качественно нового уровня.
В зависимости от формы области, краевых условий, коэффициентов исходного уравнения метод конечных разностей имеет погрешности аппроксимации от первого до четвертого порядка относительно шага. В силу этого они успешно используются для разработки программных комплексов автоматизированного проектирования технических объектов.
В МКР строятся, как правило, регулярные сетки, особенности геометрии области учитываются только в около граничных узлах. В связи с этим МКР чаще применяется для анализа задач с прямолинейными границами областей определения функций.
Проблемой методов конечных разностей является высокая размерность результирующей системы алгебраических уравнений (несколько десятков тысяч в реальных задачах. Поэтому реализация методов конечных разностей в составе САПР требует разработки специальных способов хранения матрицы коэффициентов системы и методов решения последней.
Разработанный алгоритм применим и к задачам с криволинейной границей области и ошибка аппроксимации значительно меньше стандартных сеточных методов и не требует хранения большого объема промежуточной информации.
Этот алгоритм расчета имеет хорошие перспективы для дальнейшего развития, например, интересной представляется возможность создания универсального блока расчета для большого семейства криволинейных границ, повышение производительности до качественно нового уровня с использованием алгоритма параллельных вычислений.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.Марчук, Г.И. Методы вычислительной [Текст]/ Г.И. Марчук. - М.: Наука, 1989. - 608.
2.Moody R. V., Model sets: a survey, Quasicrystals to More Complex Systems (F. Alex, F. Denoyer, and J. P. Gazeau, eds.), EPD Science, Les Ulis, and Springer-Verlag, Berlin, 2000, pp. 145-166.
.Lifshitz R., The square Fibonacci tiling, J. Alloys Compounds 342 (2002), 186-190.
4.
5.Cooke G., A weakening of the Euclidean property for integral domains and applications to algebraic number theory. I, J. Reine Angew. Math. 282 (1976), 133-156.
.Журавлев В. Г., Суммы квадратов над о-кольцом Фибоначчи, Зап. науч. семин. ПО-МИ 337 (2006), 165-190.
7.Lifshitz R., The square Fibonacci tiling, J. Alloys Compounds 342 (2002), 186-190.
8.Журавлев В. Г., Одномерные разбиения Фибоначчи, Труды 17-й Международной летней школы-семинара по современным проблемам теоретической и математической физики, Казань, 2005, с. 40-55.с
.Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 3-е изд., Наука, М., 1985.
.Дробышевича В. И., Дымникова В. П., Ривина Г. С., Задачи по вычислительной математике [Текст]/ В. И. Дробышевича, В. П. Дымникова, Г. С. Ривина. - М.: Наука, 1988. - 478.
.Конвей, Дж, Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы [Текст]/ Дж. Конвей, Н. Слоэн. - М.: Мир, 1990. - 414.
.Свободная энциклопедия Википедия [Электронная энциклопедия] // Сетевая энциклопедия Wikipedia. 2000. -
.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений [Текст]/ И.С. Березин, Н.П. Жидков. - М.: Физматгиз, 1962. - 507.
.Мэтьюз, Джон, Г., Финк, Куртис, Д. Численные методы. Использование MATLAB, 3-е издание [Текст]/ Г. Джон Мэтьюз, Финк, Куртис. - М.: Вильяме, 2001. - 720.
.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики [Текст]/ А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1972.
.Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы [Текст]/ В.Ф. Формалев, Д.Л. Ревизников - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400.
.Пирумов У.Г., Численные методы [Текст]/ У.Г. Пирумов. - М.: МАИ, 1998. - 346.
.Калиткин Н.Н., Численные методы [Текст]/ Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1976. - 537.
19.Hunt, Brian R Matlab R2007 с нуля [Текст]/ -М.:Лучшие книги, 2008. - 352.
.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы [Текст]/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - М.:БИНОМ, 2007. - 636.
.Гречко Л.Г., Сугаков В.И., Томасевич О.Ф., Федорченко А.М. Сборник задач по теоретической физике [Текст]/ Л.Г. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич , А.М. Федорченко. - М.: Высшая школа, 1972. - 336.
.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики [Текст]/ Б.П. Демидович, И.А. Марон. - М.: Наука, 1966. - 664.
.Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления [Текст]/ Н.Е. Кочин. - М.:Наука,1965. - 425.
.Мэтьюз Дж., Финк Г., Куртис Д. Численные методы. Использование Matlab [Текст]/ Дж. Мэтьюз, Г. Финк, Д. Куртис. - ИД.:Вильямс, 2001. - 720.
.Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности [Текст]/ Б.Е. Победря.- М.: МГУ, 1995. - 366.
.Поршнев С.В. Вычислительная математи