Исследование первых двух моментов состоятельной оценки спектральной плотности многомерного временного ряда
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Исследование первых двух моментов состоятельной оценки спектральной плотности многомерного временного ряда
Введение
Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.
Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.
Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.
Среди непараметрических методов спектрального оценивания одним из наиболее распространенных является метод Уэлча, в котором для построения оценки спектральной плотности производится осреднение периодограмм, построенных по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений. Цель перекрытия - увеличить число осредняемых отрезков при заданной длине временного ряда и тем самым уменьшить дисперсию итоговой оценки.
В данной работе вычислены первые два момента состоятельной оценки спектральной плотности, исследовано асимптотическое поведение математического ожидания и дисперсии построенной оценки. Проведен сравнительный анализ оценки спектральной плотности в зависимости от окон просмотра данных и числа разбиения наблюдений для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений за атмосферным давлением в городе Бресте с января 2006 г. по март 2010 г.
спектральный плотность временной асимптотический
1. Понятия и определения, используемые в работе
Временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида
.
Действительным случайным процессом называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.
Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.
Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.
Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида
где .
Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида
где .
Спектральной плотностью случайного процесса, , называется функция вида
, при условии, что
Спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.
Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида
Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
, .
Заметим, что
,
.
Пусть - значения случайного процесса в точках . Функция
называется характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .
Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
,
, , которую также будем обозначать как .
Приведем соотношения, связывающие смешанные моменты и смешанные семиинварианты для и .
При
,
,
.
При
Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
, при условии, что
Случайный процесс , называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение
где
Случайный процесс , , называется стационарным в широком смысле, если и
1)
)
Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , , называется функция вида
, при условии, что
Семиинвариантной спектральной плотностью -го порядка, , стационарного СП , , называется функция вида
при условии, что
2. Построение оценки спектральной плотности многомерного временного ряда и вычисление первых двух моментов оценки
.1 Построение оценки спектральной плотности
Рассмотрим действительный стационарный случайный процесс , с , (, ), , неизвестной ковариационной матрицей , , где
=,
и неизвестной матрицей спектральных плотностей , , где
.
Пусть - последовательных наблюдений, полученных через равные промежутки времени, за составляющей процесса , , .
Предположим, что число наблюдений представимо в виде , где - число пересекающихся интервалов, содержащих по наблюдений, а , - целые числа, .
Заметим также, что если , то , где - число непересекающихся интервалов, содержащих по наблюдений.
Модифицированное конечное преобразование Ф