Исследование первых двух моментов состоятельной оценки спектральной плотности многомерного временного ряда

Курсовой проект - Математика и статистика

Другие курсовые по предмету Математика и статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование первых двух моментов состоятельной оценки спектральной плотности многомерного временного ряда

 

 

Введение

 

Почти в каждой области встречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии и изменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес, например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иные характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Все они изменяются во времени. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода и представляет собой временной ряд.

Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.

Методы анализа временных рядов широко используются в различных областях науки и техники, их можно применять при анализе больших объемов данных, получаемых в процессе вибрационных испытаний или извлекаемых из сводок экономических данных.

Среди непараметрических методов спектрального оценивания одним из наиболее распространенных является метод Уэлча, в котором для построения оценки спектральной плотности производится осреднение периодограмм, построенных по пересекающимся и непересекающимся интервалам наблюдений. Цель перекрытия - увеличить число осредняемых отрезков при заданной длине временного ряда и тем самым уменьшить дисперсию итоговой оценки.

В данной работе вычислены первые два момента состоятельной оценки спектральной плотности, исследовано асимптотическое поведение математического ожидания и дисперсии построенной оценки. Проведен сравнительный анализ оценки спектральной плотности в зависимости от окон просмотра данных и числа разбиения наблюдений для временного ряда, представляющего собой последовательность наблюдений за атмосферным давлением в городе Бресте с января 2006 г. по март 2010 г.

спектральный плотность временной асимптотический

 

1. Понятия и определения, используемые в работе

 

Временным рядом (r-мерным временным рядом) называется совокупность функций вида

 

.

 

Действительным случайным процессом называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или - подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида

 

 

где .

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида

 

 

где .

Спектральной плотностью случайного процесса, , называется функция вида

, при условии, что

 

Спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида

 

 

Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

 

, .

 

Заметим, что

 

,

.

Пусть - значения случайного процесса в точках . Функция

 

 

называется характеристической функцией, где - ненулевой действительный вектор, , .

Смешанным семиинвариантом (кумулянтом) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

 

,

 

, , которую также будем обозначать как .

Приведем соотношения, связывающие смешанные моменты и смешанные семиинварианты для и .

При

 

,

,

.

 

При

 

Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

 

 

, при условии, что

 

 

Случайный процесс , называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение

 

 

где

Случайный процесс , , называется стационарным в широком смысле, если и

1)

)

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , , называется функция вида

 

 

, при условии, что

Семиинвариантной спектральной плотностью -го порядка, , стационарного СП , , называется функция вида

 

 

при условии, что

 

2. Построение оценки спектральной плотности многомерного временного ряда и вычисление первых двух моментов оценки

 

.1 Построение оценки спектральной плотности

 

Рассмотрим действительный стационарный случайный процесс , с , (, ), , неизвестной ковариационной матрицей , , где

 

=,

 

и неизвестной матрицей спектральных плотностей , , где

 

.

 

Пусть - последовательных наблюдений, полученных через равные промежутки времени, за составляющей процесса , , .

Предположим, что число наблюдений представимо в виде , где - число пересекающихся интервалов, содержащих по наблюдений, а , - целые числа, .

Заметим также, что если , то , где - число непересекающихся интервалов, содержащих по наблюдений.

Модифицированное конечное преобразование Ф