Исследование первых двух моментов состоятельной оценки спектральной плотности многомерного временного ряда
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
урье наблюдений определяется выражением
, (1.1)
где , - сглаживающие функции или окна просмотра данных, свойства которых рассмотрены в работе [2].
На каждом из интервалов разбиения построим модифицированное конечное преобразование Фурье наблюдений, имеющее вид
, (1.2)
, , где - окна просмотра данных. Таким образом, сглаживание наблюдений на каждом из отрезков разбиения производится одним и тем же окном просмотра данных.
Сделаем в выражении (1.2) замену переменной суммирования , получим
, (1.3)
где
,(1.4)
, , .
На каждом из интервалов разбиения построим статистику , задаваемую равенством
,(1.5)
где задается выражением (2.4), - окна просмотра данных, , , .
Статистику будем называть модифицированной периодограммой на ом отрезке разбиения наблюдений.
В качестве оценки взаимной спектральной плотности процесса исследована статистика вида
(1.6)
где , - спектральное окно, а , - оценка взаимной спектральной плотности процесса , построенная по методу Уэлча
(1.7)
Относительно окон просмотра данных и спектральных окон будем предполагать
Предположение 1.1 Пусть окна просмотра данных ограничены единицей и имеют ограниченную постоянной вариацию.
Предположение 1.2 Пусть непрерывная, периодическая функция с периодом , имеет ограниченную вариацию и является ядром.
2.2 Вычисление математического ожидания, дисперсии и ковариации построенной оценки
Докажем некоторые вспомогательные результаты.
Лемма 1.1. Для любого целого р справедливо следующее соотношение
(1.8)
Доказательство. Если , то доказательство очевидно. Рассмотрим случай . Воспользуемся формулой Эйлера
Тогда
Лемма доказана.
Лемма 1.2. Если функции являются окнами просмотра данных и удовлетворяют предположению 1.1, то
,(1.9)
,(1.10)
для любого .
Доказательство. Докажем соотношение (1.9). Используя преобразование Абеля, можно записать
+,
в силу того, что . Используя тот факт, что для любого натурального и любого действительного ,
,(1.11)
Получим следующее выражение
.
Тогда
.
Учитывая ограниченность функций единицей, будем иметь
+
+.
Следовательно,
.
Тогда, используя ограниченность вариации постоянной , получим (1.9). Соотношение (1.10) доказывается аналогично. Лемма доказана.
Лемма 1.3. Если функция непрерывна на и является периодической с периодом по каждому из аргументов, то для любого , справедливо соотношение
=, (1.12)
где .
Доказательство. Представим интеграл в правой части в виде суммы трех интегралов
=-
+=,
где , .
Покажем, что . Сделаем в замену переменных интегрирования . Учитывая, что имеет период по каждому из аргументов, имеем
=
,
где - якобиан, равный единице. Лемма доказана.
Теорема 1.1. Математическое ожидание оценки взаимной спектральной плотности , , , задаваемой соотношением (1.6), имеет вид
,(1.13)
,(1.14)
,(1.15)
.
Доказательство. Подставляя вместо ее выражение в явном виде, используя соотношения (1.4), (1.5) и учитывая свойства математического ожидания, получим
=
=
.
Учитывая, что
,(1.16)
получим требуемый результат. Теорема доказана.
Теорема 1.2. Ковариация оценки взаимной спектральной плотности , , , задаваемой соотношением (1.6), имеет вид
=
+
+
+
+
(1.17)
где
=
,(1.18)
=,(1.19)
где задается выражением (1.15), - семиинвариантная спектральная плотность 4-го порядка, а
, (1.20)
.
Доказательство. Используя определение ковариации, свойства математического ожидания и соотношение (1.7), получим
=
=
=
.
Таким образом, последнее выражение можно представить в виде суммы трех слагаемых и .
Рассмотрим .
Учитывая соотношение, связывающее смешанный семиинвариант 4-го порядка и семиинвариантную спектральную плотность 4-го порядка, а также соотношение (1.15), получим
.
Сделаем замену переменных интегрирования . Учитывая (1.11), (1.18), (1.20), на основании леммы 1.3 получим
.
Рассмотрим .
Учитывая соотношения (1.15), (1.16), запишем
.
Используя соотношения (1.19), (1.20), получим
.
Рассмотрим .
Учитывая соотношения (1.15), (1.16), получим
.
Теорема доказана.
Теорема 1.3. Дисперсия оценки взаимной спектральной плотности , , , задаваемой соотношением (1.6), имеет вид
+
+
+
+
.(1.21)
где , ,, задаются выражениями (1.18), (1.20), (1.19), (1.15) соответственно, , , a - семиинвариантная спектральная плотность 4-го порядка.
Доказательство следует из теоремы 1.2, положив , , .
3. Исследование асимптотического поведения моментов построенн