Исследование первых двух моментов состоятельной оценки спектральной плотности многомерного временного ряда
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ой оценки
3.1 Исследование асимптотического поведения математического ожидания построенной оценки
Исследуем асимптотическое поведение математического ожидания оценки взаимной спектральной плотности , , заданной соотношением (1.6).
Теорема 2.1. Если взаимная спектральная плотность непрерывна в точке и ограничена на , окна просмотра данных удовлетворяют предположению 1.1, а спектральные окна предположению 1.2, то для оценки , заданной выражением (1.6), справедливо соотношение
(2.1)
Доказательство. Используя свойства математического ожидания и функции вида
(2.2)
где задано выражением (1.15), запишем
Откуда, учитывая лемму Д5.1 работы [1], получим
Сделаем замену переменных тогда,
Сделаем замену переменных , получим
Учитывая, что свертка двух ядер является ядром,
-
ядро. Тогда,
Так как взаимная спектральная плотность непрерывна в точке и ограничена на , а является ядром, получим требуемый результат. Теорема доказана.
Таким образом, статистика , заданная выражением (1.6), является асимптотически несмещенной оценкой взаимной спектральной плотности , , .
Лемма 2.1. [1] Если на отрезке функция имеет ограниченную вариацию, то
.
Как частный случай из леммы 4.1 можем получить соотношение
~, ()(2.3)
где функция - произвольная функция ограниченной вариации на отрезке .
Лемма 2.2. Для функции , заданной выражением (2.2), справедливы соотношения
,(2.4)
для любого ,
,(2.5)
,(2.6)
где
.(2.7)
Доказательство. Подставляя в явном виде, получим
.
Используя соотношение (1.8) получим (2.4).
Докажем соотношение (2.5). Нетрудно видеть, что
.
Используя (1.9), получим
.
Аналогично можно показать, что
.
Откуда следует справедливость соотношения (2.5).
Докажем (2.6). Используя неравенство Гельдера, получим
=.
Откуда, используя (2.3), получим требуемый результат. Лемма доказана.
Исследуем скорость сходимости математического ожидания оценки , предполагая, что , , удовлетворяет условию
, (2.8)
для любых , - некоторая положительная константа,
Лемма 2.3. Для ядра , , при любом
(2.9)
Доказательство. Запишем
где
Так как функция непрерывна на , следовательно, для любого существует что как только то , поэтому
можно сделать сколь угодно малым за счет выбора . Значит,
Рассмотрим .
Аналогично можно доказать, что
Лемма доказана.
Лемма 2.4. Для ядра, заданного выражением (2.2), при любом справедливо
(2.10)
Доказательство. Запишем
где
Так как функция непрерывна на , следовательно, для любого существует что как только то , поэтому
можно сделать сколь угодно малым за счет выбора . Значит,
Рассмотрим .
Аналогично можно доказать, что
Лемма доказана.
Теорема 2.2. Если взаимная спектральная плотность , , , удовлетворяет предположению 1.2, то для математического ожидания оценки , , задаваемой (1.6), имеет место равенство
(2.11)
где а задается выражением (2.2).
Доказательство. Учитывая, что математическое ожидание оценки имеет вид
,
сделав замену переменных , получим
Откуда, учитывая соотношение (2.8), можем записать
На основании лемм 2.3 и 2.4, получим требуемый результат. Теорема доказана.
3.2 Исследование асимптотических свойств ковариации и дисперсии построенной оценки
Исследуем асимптотическое поведение оценки взаимной спектральной плотности , , заданной соотношением (1.6).
Теорема 2.4. Если взаимная спектральная плотность непрерывная в точках и ограничена на , семиинвариантная спектральная плотность 4-го порядка ограничена на , окна просмотра данных , , , удовлетворяют предположению 1.1, а спектральные окна удовлетворяют предположению 1.2,
(2.12)
то для статистики, задаваемой соотношением (1.6), справедливо соотношение
(2.13)
Доказательство. Используя определение ковариационной функции и свойства математического ожидания, ковариация статистики , может быть представлена в виде
Учитывая, что в соответствии с теоремой 3 работы [2]
и так как спектральные окна удовлетворяют предположению 1.2, справедливо соотношение (2.13).
Теорема доказана.
Теорема 2.5. При сохранении условий теоремы 2.4 для статистики, задаваемой соотношением (1.6), справедливо соотношение
(2.14)
Доказательство следует из теоремы 2.4, положив , а
Из соотношений (2.14), (2.1) следует, что
(2.15)
Таким образом, статистика в условиях теоремы 2.4 является состоятельной в среднеквадратическом смысле оценкой взаимной спектральной плотности.
4. Сравнительный анализ оценки спектральной плотности в зависимости от окон просмотра данных и числа интервалов разбиения наблюдений