Исследование временных характеристик работы кодера кода Рида-Соломона в частотной области в зависимости от типа ДПФ параметров кода
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
В»е мы рассмотрим один из способов описания циклических кодов, основанный на использовании дискретного преобразования Фурье (ДПФ) кодовых последовательностей, заданных над конечным полем . Данный подход позволяет в ряде случаев найти альтернативные методы кодирования и декодирования циклических кодов.
В поле комплексных чисел ДПФ вектора с комплексными компонентами определяется как вектор , компоненты которого вычисляются согласно соотношению
.
Ядром преобразования Фурье является , которое является корнем n-й степени из единицы в поле комплексных чисел. В конечном поле элемент порядка также является корнем n-й степени из единицы. Тогда, проводя аналогию между и , можно ввести следующее определение.
Пусть - вектор над , где n делит при некотором m и пусть - элемент мультипликативного порядка n в расширенном поле . Тогда ДПФ над полем вектора является вектор с элементами , задаваемыми равенствами
,
или в матричном представлении
.
Учитывая ранее указанную аналогию, дискретный индекс i естественно назвать дискретным временем, а вектор - временной функцией (последовательностью) или сигналом. Аналогично, индекс k можно назвать дискретной частотой, а вектор - частотной функцией (последовательностью) или спектром.называется ядром преобразования, а матрица в правой части равенства - матрицей Фурье.
Если спектр определяется прямым ДПФ, то с помощью обратного ДПФ по спектру может быть определен сам сигнал, т.е. компоненты вектора
.
Следует также отметить, что если ДПФ вещественнозначной временной функции является комплексным, то аналогично при преобразовании в поле Галуа временной функции , элементы которой принадлежат полю , ее спектр лежит в расширенном поле .
Преобразование Фурье обладает рядом замечательных свойств, которые переносятся и на случай преобразования в конечных полях.
Теорема 4.1.1. (Теорема о свертке) Пусть - временные последовательности, причем . Тогда компоненты ДПФ могут быть определены как
где двойные скобки означают, что индекс вычисляется в арифметике по модулю n.
Доказательство: Вычислим преобразование Фурье вектора с компонентами вида
.
Можно сформулировать и обратную теорему, поменяв местами временную и частотную области.
Теорема 4.1.2. Пусть - частотные последовательности, причем . Тогда компоненты вектора могут быть определены как
где двойные скобки означают, что индекс вычисляется в арифметике по модулю n.
Отметим также, что выбор в теореме о свертке приводит к формуле типа равенства Парсеваля
.
Замечание. Основываясь на этом свойстве ДПФ, возможен альтернативный вариант описания циклических кодов. Любое кодовое слово циклического кода может быть представлено в несистематическом виде как
,
где - информационный, а - проверочный полиномы. Во временной области коэффициенты кодового полинома определяются циклической сверткой коэффициентов информационного и порождающего полиномов
,
так что в частотной области, согласно теореме 4.1.2, операция кодирования может быть осуществлена покомпонентным перемножением спектров
и последующим вычислением обратного ДПФ для спектра кодового слова.
Теорема 4.1.3. (Свойство сдвига) Если последовательности и являются парой преобразования Фурье, то парами преобразований Фурье являются также и .
Доказательство осуществляется непосредственной подстановкой.
В том случае, когда кодовому вектору сопоставляется полином , он может быть преобразован в полином , коэффициенты которого отвечают спектральным компонентам ДПФ в поле Галуа вектора , а сам полином называется спектральным (или ассоциированным) с многочленом. Следующая теорема устанавливает, что свойства спектра тесно связана с корнями многочленов.
Теорема 4.1.4.
(i). Элемент является корнем полинома тогда и только тогда, когда k-й частотный компонент равен нулю.
(ii). Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда i-й временной компонент равен нулю.
Доказательство утверждения (i) очевидно, поскольку из непосредственной подстановки корня в полином имеем
.
Аналогичным образом доказывается и утверждение (ii).
На основании приведенной теоремы можно сделать следующее заключение. Поскольку любой кодовый многочлен содержит в качестве множителя порождающий многочлен, то корни порождающего полинома являются и корнями кодового. Тогда, согласно теореме 4.1.4, корням порождающего многочлена будут соответствовать нулевые спектральные компоненты кодовых слов на позициях . Следовательно, можно дать следующее альтернативное определение циклического кода. Циклическим кодом называется множество таких слов над конечным полем , у которых все спектральные компоненты, принадлежащие заданному множеству т.н. проверочных частот равны нулю
Кодовое слово кода Р-С длины и его спектр лежат в одном поле .Кодирование кода Рида-Соломона в частной области можно осуществить следующим образом: какие либо последовательных координат полагаются равными нулю, в остальных координатах записываются информационные символы. Напри?/p>