Исследование временных характеристик работы кодера кода Рида-Соломона в частотной области в зависимости от типа ДПФ параметров кода
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
?й любой вектор, сложенный с ним:
;
3. Для любого вектора существует единственный противоположный (обратный) вектор такой, что:
;
. Умножение на скаляр ассоциативно:
;
. Умножение любого вектора на единичный скаляр (всегда существующий в ) не меняет его значения:
;
. Выполняется дистрибутивный закон
.
Модель векторного пространства, используемая в теории кодирования, есть ничто иное, как пространство -мерных векторов (кодовых слов) с компонентами, принадлежащими заданному конечному полю: . Операции с векторами в этом пространстве выполняются по следующим простым правилам:
и ,
где сложение и умножение скаляров осуществляется в соответствии с правилами поля . Пространство такого типа может содержать до векторов. В двоичном пространстве максимальное число векторов не превосходит величины и согласно правилам поля
Пусть в пространстве имеется набор из векторов . Эти вектора называются линейно зависимыми, если хотя один представим в виде линейной комбинацией других
,
где все - скалярные коэффициенты. Напротив, если ни один из векторов не является линейной комбинацией других, то вектора называются линейно независимыми.
Максимальное число линейно независимых векторов в данном пространстве называется размерностью пространства (пространство размерности также называют -мерным). Любое множество линейно независимых векторов в -мерном пространстве образует его базис. Если - базис пространства , то любой вектор может быть получен в виде линейной комбинации :
,
где - компоненты или координаты в базисе , а само выше приведенное соотношение называют представлением в базисе .
Если в векторном пространстве существует подмножество , являющееся пространством над полем с такими же операциями сложения векторов и умножения на скаляр, то называется подпространством
2.3 Арифметика полиномов, заданных над конечным полем
Рассмотрим полином
,
в котором коэффициенты являются элементами поля .
Введем основные правила арифметических действий с формальными полиномами, коэффициенты которого принадлежат полю (подобные полиномы обычно называют полиномами над).
1.Суммой двух полиномов и называется полином, определяемый соотношением:
.
2.Умножение полинома на скаляр (где ) осуществляется как
.
Установив операции сложения полиномов и умножения полинома на скаляр, можно сказать, что множество полиномов кодовых слов обладает структурой векторного пространства и для него справедливы утверждения:
если , то ;
если , то .
Рассмотрим некоторые определения, связанные с полиномами, заданными над конечным полем.
Пусть имеется многочлен .
Приведенным (или нормированным) полиномом называется полином, старший коэффициент которого .
Нулевым полиномом называется полином.
Степенью ненулевого полинома называется наибольшая степень формальной переменной при ненулевом коэффициенте и обозначается как .
Важную роль играет операция умножения полиномов, которая не определена для векторного пространства. Считая, что для формальных полиномов выполняется обычный дистрибутивный закон и что , произведение полиномов задается соотношением, ничем не отличающимся от обычного произведения полиномов, изучаемого в школьной алгебре.
Если и , то
,
где .
В современной алгебре структура, отличающаяся от поля только отсутствием обратимости ненулевых элементов, т.е. отсутствием операции деления, называется кольцом. Очевидно, что множество полиномов над полем образуют кольцо.
Другим, более известным примером кольца является множество целых чисел. Однако в кольце целых чисел операция умножения порождает еще одну, называемую делением с остатком. Возьмем некоторое положительное целое число . Тогда любое целое число может быть представлено в виде
,
где неотрицательное целое , меньшее , называется остатком (от деления на), называется частным от деления, - делимым, а - делителем.
Поскольку в кольце полиномов определена операция умножения, то, поступая аналогично, можно ввести операцию деления полиномов с остатком. Однако, для полиномов сравнение в терминах больше-меньше невозможно, поэтому для получения остатка сравниваются степени полиномов. Возьмем полином и представим произвольный полином как
.
В данном соотношении, возможном для любых и , назовем полиномы , , и делимым, делителем, частным и остатком соответственно. Операция деления полиномов известна под названием алгоритма Евклида. Определение частного и остатка от деления полиномов осуществляется в столбик, как и при делении целых чисел.
В теории кодирования особая роль принадлежит остатку от деления, который часто называют вычетом многочлена по модулю многочлена . Данному определению соответствует запись
,
которая символизирует, что полиномы и имеют один и тот же остаток от деления на . Действительно, является остатком от деления на . С другой стороны, поскольку , то сразу же является остатком от деления на .
Если , т.е. , то говорят, что делится на , или делит, или является множителем