Исследование временных характеристик работы кодера кода Рида-Соломона в частотной области в зависимости от типа ДПФ параметров кода
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
. Используется также выражение, что раскладывается на множители меньшей степени.
Полином, который не может быть разложен на множители меньшей степени, называется неприводимым.
Наибольшим общим делителем двух полиномов и , обозначаемым как , называется приведенный полином наибольшей степени, делящий одновременно оба из них.
Наименьшим общим кратным двух полиномов и , обозначаемым как , называется приведенный полином наименьшей степени, делящийся на оба из них.
Если наибольший общий делитель двух полиномов равен единицы, т.е. , то они называются взаимно простыми.
2.4 Расширенные конечные поля
Теперь у нас есть все необходимые сведения, чтобы расширить поле до поля ( - простое число). Как уже известно, существуют конечные поля только порядка ( - простое, - натуральное числа). Простое поле порядка может трактоваться как множество остатков от деления целых чисел на : с операциями сложения и умножения по модулю . Аналогичным образом расширенное поле порядка , может трактоваться как множество остатков от деления полиномов над на некоторый неприводимый полином степени с операциями сложения и умножения по модулю . Другими словами, поле содержит все полиномы над полем степени не выше с общепринятыми операциями сложения и умножением, осуществляемым в два этапа - вначале производится обычное умножение полиномов, а затем удерживается только остаток от деления полученного произведения на полином .
Отметим, что среди полиномов степени не выше присутствуют и полиномы нулевой степени, т.е. элементы простого поля , сложение и умножение которых, осуществляются по правилам . Это означает, что простое поле полностью содержится в расширенном , или, другими словами, является подполем. Для поля порядок его простого подполя называется характеристикой поля . Например, любое расширенное поле является полем характеристики 2, вследствие чего вычисление коэффициентов полиномов, рассматриваемых как элементы поля , осуществляется по модулю два. В частности, для любого ,, поскольку .
2.5 Мультипликативный порядок элементов поля. Примитивные элементы. Другой подход к построению расширения поля Галуа
В любом поле , является ли оно простым или расширенным, определена операция -кратного умножения элемента . Естественно назвать такое произведение -ой степенью элемента , обозначив его как
.
Тогда
,
и для любого ненулевого
.
Следовательно, в конечных полях действуют те же самые правила обращения с целочисленными степенями элементов, что и в обычной арифметике.
Возьмем некоторый ненулевой элемент и рассмотрим его степени вида . Поскольку все они являются элементами поля , то вследствие его конечности лишь ограниченное число подобных степеней будет различными, т.е. для некоторых и будет справедливо , а значит, . Назовем минимальное натуральное число , для которого
,
мультипликативным порядком элемента . Очевидно, что только единичный элемент любого конечного поля обладает мультипликативным порядком, равным единице, т.е. .
Следующая теорема, приводимая без доказательства, утверждает, что значения мультипликативных порядков элементов поля подчиняются достаточно строгому ограничению.
Теорема 2.5.1. Мультипликативный порядок любого ненулевого элемента поля делит , т.е. число ненулевых элементов поля .
Элемент поля , имеющий максимальный мультипликативный порядок , называется примитивным элементом поля.
В любом конечном поле всегда существует хотя бы один примитивный элемент . Отличительной особенностью данного элемента является то, что все его последовательных степеней , различны и пробегают все ненулевые элементы поля .
Утверждение 2.5.1. Если мультипликативный порядок элемента равен , то порядок элемента определяется как
,
где - наибольший общий делитель .
Утверждение 2.5.2. В любом поле содержится примитивных элементов, где - функция Эйлера, указывающая число целых чисел из диапазона от 1 до , взаимно простых с.
Расширенное поле, построенное как множество полиномов по модулю некоторого неприводимого полинома, всегда содержит в качестве элемента поля полином . Если окажется, что - примитивный элемент, то соответствующий неприводимый полином называется примитивным полиномом. Примитивные полиномы произвольной степени определены над любым конечным полем. Они являются полезным инструментом для построения расширенных полей, поскольку позволяют реализовать очень простой вариант таблицы умножения элементов поля. Действительно, любые ненулевые элементы и расширенного поля могут быть выражены как некоторые -я и -я степени примитивного элемента : , . Тогда и, значит, таблица умножения двух элементов поля и представляет собой ни что иное, как все не нулевые степени примитивного элемента.
Таким образом, построение расширенного поля в виде степеней примитивного элемента предполагает следующий алгоритм действий. На первом этапе выбирается некоторый примитивный полином степени над основным полем , которые содержатся в специальных таблицах: . Тогда -я степень по модулю определится как . Предположение о примитивности позволяет задать в виде . Отсюда
.
Учитывая, что и подставляя его в последнее соотношение, получаем в явном ?/p>