Исследование временных характеристик работы кодера кода Рида-Соломона в частотной области в зависимости от типа ДПФ параметров кода
Дипломная работа - Менеджмент
Другие дипломы по предмету Менеджмент
? кода.
Рассмотрим множество полиномов , образующих циклический код и найдем среди них ненулевой полином наименьшей степени.
Ненулевой нормированный кодовый полином циклического кода наименьшей степени называется порождающим многочленом циклического кода.
Следовательно, если , то
.
Теорема 3.2.1. Любой кодовый полином циклического кода делится без остатка на порождающий многочлен этого кода, т.е.
Доказательство: Предположим противное, т.е. что существует некоторый кодовый многочлен, который представим в виде
,
где остаток от деления на.
Так как , то, согласно следствию из леммы 3.2.2, многочлен является кодовым. Тогда, с учетом линейности кода, также является кодовым многочленом. Но поскольку , то в циклическом коде содержится кодовый полином, имеющий меньшую степень, чем порождающий, что противоречит определению порождающего полинома, а значит, наше предположение неверно, и порождающий многочлен делит без остатка любой кодовый полином, т.е. .
Таким образом, любой кодовый полином циклического кода может быть представлен в виде произведения
,
в котором - порождающий многочлен, а - некоторый информационный полином. Иными словами, отличие всех кодовых полиномов друг от друга определяется только информационными полиномами. Поскольку
,
то для двоичных кодов может существовать различных информационных полиномов , т.е. различных кодовых слов. Отсюда число информационных символов в каждом кодовом слове , и, значит, , тогда как степень порождающего многочлена
соответствует числу проверочных символов.
Порождающий многочлен циклического кода обладает характерными чертами, которые устанавливается следующей теоремой.
Теорема 3.2.2. Порождающий многочлен циклического кода длины обязательно делит бином .
Доказательство: Из леммы 3.2.1 следует, что вычет из произведения по модулю является кодовым полиномом. Учитывая, что , то
,
и значит, как кодовый полином, делится без остатка на. Следовательно, и делится на .
3.3 Систематический циклический код
Построение кодового полинома путем перемножения информационного и порождающего полиномов приводит к не систематическому кодовому слову, в котором отсутствует явное разделение информационных и проверочных символов.
Для того чтобы прийти к систематической форме кодового слова необходимо осуществить некоторое согласование между информационным и кодовым полиномами. Пусть - информационный полином, а - кодовый. Систематическое правило кодирование предполагает получение кодового полинома в таком виде, чтобы коэффициенты при старших степенях полинома соответствовали информационным символам. Данное требование достигается путем умножения информационно полинома на многочлен :
,
что эквивалентно сдвигу информационного слова на позиций вправо и добавления слева аналогично числа нулей.
Поскольку любой кодовый полином должен делиться на порождающий полином , из последнего соотношения необходимо вычесть остаток , получаемый в результате деления на , т.е. . В итоге, кодовое слово в систематической форме представимо в виде
.
3.4 Коды Рида-Соломона
Остановимся здесь на важном частном случае циклического кода - коде Рида-Соломона (РС).
Коды РС являются недвоичными циклическими кодами, символы кодовых слов которых берутся из конечного поля . Здесь степень некоторого простого числа, , -простое.
Кодовые слова РС-кода отображаются в виде многочленов
где - длина кода; - -ичные коэффициенты (символы кодовых слов), которые могут принимать любое значение из Коды РС являются максимальными, т.к. при длине кода и информационной последовательности они обладают наибольшим кодовым расстоянием
Порождающим многочленом РС-кода является делитель двучлена xN+1 степени меньшей с коэффициентами из при условии, что элементы этого поля являются корнями . Здесь - примитивный элемент
На основе этого определения, а также теоремы Безу, выражение для порождающего многочлена РС-кода будет иметь вид
)
В РС-кодах принадлежность кодовых слов данному коду определяется выполнением d-1 уравнений в соответствии с выражением,
где - символы-коэффициенты из 0, z1тАж zN-1 - ненулевые элементы
Элементы z0, z1тАж zN-1 называются локаторами, т.е. указывающими на номер позиции символа кодового слова. Например, указателем - позиции является локатор или элемент ?i. Так как все локаторы должны быть различны и причем ненулевыми, то их число в равно . Следовательно, такое количество символов должно быть в кодовых словах кода. Поэтому обычно длина РС-кода определяется из выражения .
Приведем основные свойства РС-кодов.
.Циклический сдвиг кодовых слов, символы которых принимают значение из , порождает новые кодовые слова этого же кода.
.Сумма по двух и более кодовых слов дает кодовое слово, принадлежащее этому же коду.
.В РС-коде, исправляющем tu ошибок, порождающий многочлен определяется из выражения.
Обычно m0 принимают равным 1. Однако, с помощью разумного выбора значения m0, иногда можно упростить схему кодера.
4. Спектральное описание циклических кодов
.1 Дискретное преобразование Фурье
В данном разде?/p>