Задача Стефана о фазовом переходе

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине "Уравнения в частных производных"

на тему: "Задача Стефана о фазовом переходе"

 

 

Содержание

 

Введение

. Автомодельное решение классической задачи Стефана

. Численные методы, применяемые для решения задачи Стефана

.1 Метод ловли фазового фронта в узел сетки

.2 Метод выпрямления фронтов

.3 Метод сглаживания коэффициентов

.4 О выборе параметра сглаживания

.5 Разностные схемы сквозного счета

Заключение

Список используемой литературы

 

 

Введение

 

Математические модели процессов тепло- и массопереноса в средах с фазовыми переходами, представляют собой нелинейные системы дифференциальных уравнений. Даже при постоянных коэффициентах уравнений вследствие наличия в ней условия типа Стефана на границе фазового перехода модель является нелинейной и основным методом ее решения служат численные методы. Только в отдельных частных случаях возможно применение аналитического метода. Таким путем получают так называемые автомодельные решения, которые характеризуются подобием пространственных распределений искомых величин в различные моменты времени. Такие решения строят для одномерных задач в полупространстве с постоянными граничными и начальными условиями. Автомодельные решения позволяют описать изучаемые процессы при временах и на расстояниях от границы достаточно больших, чтобы исчезло влияние начальных и граничных условий, но при временах и на расстояниях достаточно малых, чтобы система была еще далека от предельного состояния.

математический модель задача стефан

 

1. Автомодельное решение классической задачи Стефана

 

Классической задачей Стефана называют простейшую одномерную задачу промерзания (оттаивания), кристаллизации (плавления), когда теплофизические характеристики, начальные и граничные условия принимаются постоянными. Рассмотрим процесс промерзания грунта. Координатную ось 0х направим вглубь грунта. Пусть начальное распределение температуры постоянно и равно С>0. Если на поверхности х=0 температура мгновенно изменяется и все время поддерживается постоянной, отличной по знаку от начальной температуры, и равной <0, то граница промерзания х=?(t) будет со временем проникать вглубь грунта. Задача о распределении температуры при наличии фазового перехода и о скорости движения границы раздела фаз сводится к решению уравнений:

 

(1.1)

(1.2)

 

С дополнительными условиями:

(1.3)

(1.4)

а на границе фазового перехода заданы условия:

 

(1.5)

 

где ,коэффициенты теплопроводности и температуропроводности мерзлого и талого грунтов постоянны. Индексы -, + обозначают значения соответствующих величин слева и справа от фронта фазового перехода. Не нарушая общности можно положить .

Простой подстановкой можно убедиться, что все условия остаются неизменными, если масштаб длины увеличить в k раз, а масштаб времени - в раз. Это значит, что решение задачи зависит от аргумента , т.е.

 

 

Отсюда, в частности, следует, что движение нулевой изотермы Т=0 будет описываться уравнением:

 

 

где ? - значение аргумента, при котором f(?)=0.

Введя новую переменную

 

 

вместо задачи (3.10- (3.6) получим новую задачу

 

(1.7)

(1.8)

(1.9)

Решения обыкновенных дифференциальных уравнений (1.7), (1.8) имеют следующий вид:

 

 

 

 

 

Постоянные определяются с помощью условий (1.9):

где - интеграл ошибок.

Условие (1.10) преобразуется в следующее трансцендентное уравнение относительно ?:

(1.11)

Так как при x>0 erf(x)> 0 и при x>? erf(x)> 1, то левая часть (1.11) для при изменении ? от 0 до ? изменяется от -? до +?, а правая часть от 0 до -?. Отсюда следует существование хотя бы одного корня уравнения (1.11). Тогда глубина промерзания определится по формуле:

 

 

В связи с тем, что решение трансцендентного уравнения (1.11) представляет некоторые трудности, для ориентировочных расчетов часто применяется формула, известная в литературе как формула Стефана.

В предыдущей постановке введем следующие упрощения. Пусть распределение температуры в верхней зоне подчинятся линейному закону, т.е. изменяется по глубине от до В нижней зоне температура постоянна и равна . Тогда условие (1.6) примет вид:

 

 

Интегрируя по t от 0 до некоторого , получим формулу Стефана для определения глубины промерзания

 

 

Обобщением этой формулы является формула Лейбензона, которая получается, если распределения температуры в талой и мерзлой зонах задаются в виде:

 

 

Очевидно, что выбранные функции удовлетворяют уравнениям (1.1), (1.2) и условиям (1.3), (1.4), а условие Стефана (1.6) преобразуется к виду

 

 

Полагая здесь приходим к квадратному уравнению относительно ?:

 

определив его корень и подставив значение ?, получаем значение глубины промерзания

 

 

В частном случае при с=0 получается формула Стефана.

Используя метод Лейбензона можно получить приближенное решение задачи о скорости промерзания и динамике температурного поля вокруг бесконечного кругового цилиндра, на стенках кот?/p>