Задача Стефана о фазовом переходе

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

µмпературы в узлах соответственно.

Заметим, что проблема выбора параметра сглаживания, как показывает практика численного решения задач типа Стефана, возникает в тех задачах, где значение величины члена, содержащего теплоту фазового перехода, превосходит коэффициент удельной теплоемкости материала более чем на порядок. В таких ситуациях произвольный выбор ? приводит к неправильным результатам. Для примера в таблице представлены фрагменты результатов решения задачи промерзания при следующих значениях указанных выше величин

 

С?=0,84*, L?=0,334*

 

На первой строке расположены значения температуры в узлах сетки при t=16,5 ч, на второй - при t=21,5 ч после начала замораживания

 

Рис

В первых двух вариантах ?=1. В первом варианте при наличии свободной воды решение имеет колебательный характер во времени. Это показывает, что тепловыделение на фронте при выбранной величине ? учитывается в расчетах не во всех моментах времени: разность значений температуры в двух соседних узлах намного превосходит 2?, т.е. указанное условие выбора параметра ? не выполнено. Когда отсутствует свободная вода (вариант 2), в выражении коэффициента слагаемое, содержащее теплоту фазового перехода обращается в нуль и решение задачи при любом ? имеет монотонный характер во времени. В вариантах 3 и 4 величина тепловыделения за счет фазового перехода воды превосходит на порядок коэффициент удельной теплоемкости материала. Когда параметр сглаживания ?=3, происходит незначительное колебание значений температуры во времени. При большой величине ? (?=10) эти колебания исчезают и идет монотонное промерзание. Таким образом, правильный учет тепловыделения на фронте фазового перехода зависит от выбора длины интервала сглаживания.

 

2.5 Разностные схемы сквозного счета

 

Рассмотрим построения разностных схем сквозного счета для задач типа Стефана без применения метода сглаживания коэффициентов уравнения теплопроводности для двухфазной задачи типа Стефана в одномерной постановке

 

(1.63)

(1.64)

(1.66)

(1.67)

(1.68)

(1.69)

 

На отрезке [0,l] введем квазиравномерную сетку основных и потоковых узлов:

 

 

область [0,l] потоковыми узлами разбивается на ячейки

 

 

Введем сетку по времени, также неравномерную

 

 

Для построения разностной задачи уравнения (1.63), (1.64) при t= проинтегрируем на каждой ячейке i с учетом условий (1.66) - (1.69):

 

 

 

Вычислив интегралы, например, формулой прямоугольников и переходя к разностным производным, получаем следующую разностную схему для определения

 

(1.70)

 

Система (1.70) нелинейная и ее решение проводится методом итераций.

Итерационный процесс решения системы (1.70), состоит из следующих этапов (для сокращения записи итерационную схему не приводим):

. Задаем начальное приближение , например, по формуле

 

 

Здесь при ?=0 фронт неподвижен, а при ?=1 фронт продвигается по линейному закону.

 

 

2. По известному методом прогонки определяется из системы (1.70), записанной в итерационной форме, вычисляя коэффициенты на предыдущей итерации.

. По найденной итерации вычисляется следующее приближение Процесс итерации повторяется до тех пор, пока не выполнятся условия

 

 

где заданные малые положительные числа.

Усвоив идею метода из изложенного материала, распространение данного метода на другие постановки задач типа Стефана читатель сможет выполнить самостоятельно.

 

 

Заключение

 

Мы рассмотрели автомодельное решение классической задачи Стефана и численные методы, применяемые для решения задачи Стефана, а именно ловли фазового фронта в узел разностной сетки, выпрямления фронтов, сглаживания коэффициентов и схемы сквозного счета. С помощью автомодельных решений возможно качественное исследование основных закономерностей изучаемого процесса и явления, а также количественная их оценка при заданных специальных граничных и начальных условиях.

 

 

Список используемой литературы

 

1.А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, Справочник по нелинейным уравнениям математической физики, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

. Б. М. Будак, А. А. Самарский А. Н. Тихонов, Сборник задач по математической физике-2001г.

. Пикулин В.В., Похожаев С.И Практический курс по уравнениям математической физики-2002г.

. Гладков С.О, Сборник задач по теоретической и математической физике-2001г.

5. Несис Е.И. -2003г.

. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики -2002г.