Задача Стефана о фазовом переходе
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?рого поддерживается постоянная температура. Задачи такого рода представляют значительный интерес при приближенных расчетах радиуса замораживающих колонок, чаши оттаивания вокруг подземных газовых и нефтяных трубопроводов и т.д.
Имеются и другие приближенные формулы, полученные решением задачи Стефана при тех или иных упрощениях, на которых мы останавливаться не будем. Изложенный метод приближенного решения задачи Стефана успешно применяется и для многофронтовых задач, а также для модельных задач тепломассопереноса с фазовыми переходами.
2. Численные методы, применяемые для решения задачи Стефана
Наиболее универсальным методом решения задач типа Стефана являются численные методы, которые начали разрабатываться с 50-х годов 20 века.
В настоящее время известны четыре основных разностных метода: ловли фазового фронта в узел разностной сетки, выпрямления фронтов, сглаживания коэффициентов и схемы сквозного счета. Характерная особенность первых двух методов состоит в том, что в них разностные схемы строятся с явным выделением искомого фронта фазового перехода. Для двух последних методов используются разностные схемы сквозного счета, в которых вычисления искомых величин ведутся во всех узлах сетки по одним и тем же формулам, независимо от того, лежит или не лежит узел на поверхности фазового перехода.
2.1 Метод ловли фазового фронта в узел сетки
Метод пригоден для решения одномерных задач типа Стефана. Рассмотрим вначале однофазную задачу типа Стефана. Для простоты примем коэффициенты уравнения теплопроводности равными 1. Пусть требуется определить функцию Т(x,t) и ?(t) из условий
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
Предположим, что функции (t)<0, ?(x)?0, а функция ?(t) монотонно возрастающая. Для численного решения данной задачи применим разностный метод ловли фронта в узел сетки. Характерная особенности этого метода заключается в специальном способе построения разностной сетки. На отрезке [0,l], где l=?(t*), t* - конечный момент времени, строим неравномерную пространственную сетку, состоящую из узлов, так чтобы точка совпадала с одним из узлов
На отрезке [0,t*] также строится неравномерная сетка
Шаг сетки по времени выбирается таким образом, чтобы за каждый шаг по времени фронт фазового перехода перемещался по координате х ровно на один шаг, т.е. ?()-?()=. Задачу (1.12)-(1.15) заменим следующей разностной задачей для определения и
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
Для простоты мы рассматриваем здесь чисто неявную разностную схему, которая имеет первый порядок аппроксимации по ?, а условие Стефана аппроксимировано разностным уравнением (1.19) с первым порядком по h и ?. Аналогично могут быть рассмотрены разностные схемы более высокого порядка аппроксимации. Индекс v над функцией обозначает ее значение на предыдущем моменте времени. Система (1.16)-(1.20) относительно неизвестных , на j-м временном слое представляет собой нелинейную систему алгебраических уравнений и ее решение может быть найдено итерационным методом. Предполагая, что искомые величины для всех k=1,2,...,j-1, i=0,1,...,m+k найдены, будем определять их значение на j-м временном слое по следующей итерационной схеме.
(1.21) (1.22)
(1.23)
Если известно , то из системы (1.21), (1.22) методом прогонки определяются , а из (1.23) - следующая итерация и т.д. Начальную итерацию можно принять за
Конец итерационного процесса проверяется условиями:
где - достаточно малые числа. Теперь рассмотрим применение данного метода к решению двухфазной задачи Стефана, которую мы сформулировали в главе 1:
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
Предположим, что решения уравнений удовлетворяют следующим начальному и граничным условиям:
Левая часть (1.26) обозначает разность значений функции слева и справа от фронта фазового перехода. Аналогично предыдущему строится разностная сетка с шагами , . Заметим, что узел, лежащий на фронте фазового перехода имеет индексы (j,j). Это будем иметь в виду в дальнейшем при записи разностных уравнений в талой и мерзлой частях области. Для численного решения задачи (1.24) - (1.30) возьмем также чисто неявную разностную схему, которую представим в виде:
(1.31)
(1.32)
(1.33)
(1.34)
(1.35)
Граничному условию (1.30) поставим в соответствие его дискретный аналог, имеющий второй порядок аппроксимации по h:
(1.36)
Полученная система уравнений также является нелинейной и ее решение находится по итерационной схеме. Обозначая через s номер итерации и предполагая известными все итерации до s-го номера искомых величин наом слое, следующую s+1 итерацию определим из решения системы уравнений
(1.37)
(1.38)
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)
Если известно , то решая систему (1.37), (1.38), найдем s+1 итерацию в узлах i=1,2,...j-1 и из системы (1.39) - (1.41) определим значения для i=j+1,j+2,...,n. На последнем этапе из уравнения (1.42) найдем следующую s+1 итерацию. Процесс итерации продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие
где - заданные достаточно малые числа. Решения систем (1.37), (1.38) и (1.39) - (1.41) легко находятся с помощью метода прогонки. Для однофазной задачи Стефана рассмотрим модификацию метода ловли фронта.
Если учесть монотонное возрастание функции ?(t) в задаче (1.12) - (1.15), то можно построить р