Задача Стефана о фазовом переходе
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
азностную сетку иначе, чем мы делали выше. Вначале построим фиксированные сетки на отрезках [0, ] и [0,t*] с переменными шагами , :
Так как начиная от точки х =область решения задачи расширяется со временем, то выбор шага на каждом временном слое подчиним условию, чтобы за один временной шаг граница фазового перехода продвигалась вправо на один пространственный шаг, т.е. при переходе на следующий временной слой число узлов пространственной сетки увеличивалось на единицу. Таким образом, на j-м слое сетка состоит из узлов
Разностная задача на построенной пространственно-временной сетке будет иметь такой же вид, как (1.16) - (1.20). Но в отличие от предыдущего, в силу выбора шага , численная реализация ее проводится по другому алгоритму. Предположим, что все искомые величины ,, до j-1 временного слоя найдены. Рассмотрим определение их на j-м слое. Система уравнений (1.16) на j-м слое состоит из m+j-1 уравнений и последнее из них ( при i=m+j-1) содержит неизвестный шаг . Поэтому возьмем систему без последнего уравнения и решение ее ищем по методу прогонки
Прогоночные коэффициенты вычисляются по формулам:
Определение по формуле прогонки начинаем с i=m+j-2 до i=0. Для того чтобы начинать вычисления необходимо иметь значение . Это неизвестное значение определяется из совместного решения двух уравнений, первое из которых получается из системы (1.16) при i=m+j-1, а второе - из формулы прогонки при i=m+j-2. Таким путем получим следующее равенство:
(1.43)
При выводе этого равенства учтено равенство нулю значений в узлах, лежащих на фронте фазового перехода. Для определения воспользуемся первым условием из (1.19). Подставив значение из (1.43), получаем относительно искомого шага z= кубическое уравнение
Таким образом, алгоритм модифицированного метода ловли фронта в узел сетки состоит из следующих этапов:
- вычисляются прогоночные коэффициенты ,;
по формуле вычисляется неизвестный шаг пространственной сетки ;
на последнем этапе по формуле прогонки определяются значения ,
Заметим, что неизвестные величины по модифицированному методу ловли фронта определяются без использования итерационного процесса и в этом заключается его достоинство.
2.2 Метод выпрямления фронтов
Идея метода состоит в преобразовании задачи типа Стефана в области с криволинейной границей, в другую задачу, определенной в прямоугольной области. Рассмотрим применение его к однофазной задаче типа Стефана.
Пусть требуется найти функции T(x,t), ?(t), удовлетворяющие условиям (1.12)-(1.15). Данную задачу преобразуем, введя новую пространственную переменную
Тогда отрезок [0, ?(t)] преобразуется в единичный отрезок [0,1] и область переходит в прямоугольную область . Функция T(x,t)=T(?,t) и с учетом зависимости ? от x и t для производных функции T получаем следующие выражения:
Уравнения (1.12)-(1.15) преобразуются в следующие:
, (1.45)
(1.46)
, t>0 (1.47)
, (1.48)
Заметим, что относительно неизвестных функций T(x,t), ?(t) получили нелинейную систему, хотя первоначальное уравнение (1.12) было линейным. Преимущество такого преобразования заключается в том, что задача теперь решается в прямоугольной области с известными границами. Это дает возможность построить разностную задачу на фиксированной пространственно-временной сетке.
Введем в области (,) сетку, для простоты равномерную:
Задачу (1.45)-(1.48) заменим следующей разностной задачей, записанной в итерационной форме.
(1.50)
(1.51)
Для определения s+1 итерации неизвестных , при известных их значениях на j-1 слое и s-й итерации сначала находим s+1 итерацию из уравнения (1.52), затем из системы (1.49)-(1.51), применяя метод прогонки, определяем s+1 итерацию . Процесс итераций продолжается до тех пор,пока не достигнута заданная точность
где - заданные достаточно малые числа.
Аналогично может быть рассмотрено решение двухфазной задачи типа Стефана. Метод выпрямления фронтов применяется также для решения
многофронтовых задач типа Стефана с постоянным или меняющимся числом фронтов. Для задач с постоянным числом фронтов рассматриваются в два случая: первый - все фронты являются внутренними и второй - одна или обе границы области являются фазовыми фронтами. Соответствующая замена переменных приводит к выпрямлению фазовых фронтов и границ области.
2.3 Метод сглаживания коэффициентов
Этот метод является наиболее универсальным, пригодным для численного решения задач типа Стефана с любым числом пространственных переменных и любым числом фазовых фронтов. Он позволяет применять разностные схемы сквозного счета, которые характеризуются тем, что граница раздела фаз явно не выделяется и используются однородные разностные схемы.
Пусть G есть p-мерная область пространства с границей Г, обозначим через цилиндр с основанием G: ={G [0,t*]}. Боковую поверхность этого цилиндра обозначим через S= {Г [0,t*]}.
Требуется найти функции Т, Ф из следующих условий:
(1.53)
(1.54)
(1.55)
(1.56)
(1.57)
(1.58)
Введем новую функцию - удельное теплосодержание
где ?(х) - дельта-функция Дирака.
Подставив ее в уравнение энергии
получим
(1.59)
Покажем, что уравнение (1.59) включает уравнения (1.53), (1.5