Дифференциальные включения
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Дифференциальные включения
Введение
Курсовая работа посвящена изучению теории дифференциальных включений. Дифференциальные включения - разновидность дифференциальных уравнений с многозначной правой частью, которые являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные включения моделируют процессы состояний которые в каждый момент времени описываются некоторым множеством в Совокупность этих множеств образует многозначную траекторию процесса.
Рассмотрим управляемую систему
(1)
Каждое конкретное управление порождает свою траекторию, тогда совокупность всех траекторий порождаемых всеми допустимыми управлениями можно объединить.
Подставим в (1) вместо u всё множество, тогда получим
.
Таким образом из (1) получаем включение .
Представленное преобразование уравнения управляемого движения говорит об очевидной актуальности изучения дифференциальных включений для систем управления. Для исследования дифференциальных включений необходимо изучать свойства многозначных отображений.
В курсовой работе рассматриваются вопросы исторического развития теории дифференциальных включений, вопросы существования и единственности решений.
1. История развития теории дифференциальных включений
дифференциальное включение математика
Первые работы по уравнениям с многозначной правой частью появились в середине 30х годов у А. Маршо (A. Marchaud)[] и С.К. Зарембы (S.K. Zaremba)[] где рассматривались вопросы существования решений и изучались некоторые свойства множества всех решений. Это были уравнения в контингенциях и паратингенциях. Авторы расширили понятия производной - ввели соответственно контингентную и паратингентную производные.
После работ Маршо и Зарембы дифференциальные включения в течении 25 лет не было публикаций по дифференциальным включениям, кроме двух работ А.Д. Мышкиса []. Это объясняется тем, что в то время дифференциальные включения не имели практической реализации в приложениях.
Новые работы по дифференциальным включениям появились в конце 50х, начале 60х годов. В то время активно исследовались задачи теории управления, рассматривались различные математический модели для описания управляемых систем, разрабатывались методы решения задач управления и анализа свойств решений.
Особо следует выделить работы Т. Важевского [] и А.Ф. Филиппова [] в которых были получены принципиальные результаты по существованию и свойствам решений дифференциальных уравнений с многозначной правой частью ( дифференциальных включений ).
(1)
Важным является установление связи между дифференциальными включениями и дифференциальными уравнениями, описывающими поведение управляемых объектов. Эту связь установил А.Ф. Филиппов в лемме о неявных функциях []. Уравнения движения объекта управления обычно записывается в виде дифференциального уравнения
, (2)
где - вектор управления.
Очевидно, что уравнение управляемого движения (2) можно интерпретировать как выбор вектора скорости из множества
т.е. рассматривать дифференциальное включение (3).
Наличие установленной связи между управляемыми системами и дифференциальными включениями позволяло сводить задачи отыскания оптимального управления к задачам отыскания оптимального решения соответствующего дифференциального включения.
В работах Т. Важевского (T. Wazevski) и его учеников было проведено фундаментальное исследование решений дифференциальных включений: вопросы взаимосвязи между различными понятиями решений дифференциального включения, существования глобальных решений, компактности и связности сечений интегральной воронки дифференциального включения.
Следует заметить, что все эти свойства были установлены для дифференциального включения с выпуклой правой частью. На первоначальном этапе изучения дифференциальных включений центральным вопросом была взаимосвязь определений решения, дифференциального включения в смысле А. Маршо и С.К. Зарембы с естественным определением решения, а также вопросы существования и свойств всех решений дифференциального включения.
Обобщения полученных результатов на случай выпуклых правых частей являлось проблематичным в силу наличия трудностей принципиального характера, прежде всего связанных с обоснованием существования решения.
Только в конце 70х годов А.Ф. Филиппову удалось доказать теорему существования локальных решений дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.
Затем появились работы Качинского и Олеха (C. Olech), Антосевича и Челлини касающихся так же теорем существования дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.
2.Элементы многозначного анализа
.1 Операции над множествами
Пусть - - мерное евклидово векторное пространство с элементами Пространство является линейным пространством с обычными операциями сложения векторов, умножения вектора на число и скалярным произведением а также нормированным пространством с нормой .
Рассмотрим пространство , состоящее из всех непустых компактных подмножеств пространства
Определение 1. Алгебраической суммой или просто суммой двух множеств и из пространства называется множество
Сумма + двух мно?/p>