Дифференциальные включения
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
щенным решением включения (3), если и интегральное включение
(6)
справедливо для всех
Обозначим через G(F) множество обобщенных решений включения (3).
Теорема Пусть - удовлетворяет следующим условиям:
) - измеримо для всех ;
) - непрерывно для всех
)
Тогда OB(F) = G(F).
Следствие Пусть - многозначное отображение, удовлетворяющее условиям 1)-3) теоремы.
Тогда OB(conv F) = G(F).
Определение Функция называется квазирасширением дифференциального включения (3), если существует последовательность функций такая, что
1)
)
) = x(t),
)
Множество квазирешений включения (3) обозначим через Q(F).
Теорема Пусть - удовлетворяет следующим условиям:
) - измеримо для всех ;
) - непрерывно для всех
)
Тогда
Следствие При предположениях теоремы имеем:
Определение Функция называется римановым решением дифференциального включения (3), если - интегрируема по Риману и для всех
Обозначим через Ri(F) множество всех римановых решений.
Определение Функция называется классическим решением дифференциального включения (3), если для всех .
Обозначим множество всех классических решений через KL(F).
Непосредственно из определения следует, что .
Теорема Пусть многозначное отображение F(t, x) в каждой точке (t, x) области удовлетворяет следующим условиям: 1)множество F(t, x) - непусто и замкнутое;
) F(•,x) - измеримо на D;
)множество F(t, x) - выпукло;
) для любого r > 0 при |x - y| r для почти всех t имеем
(7)
где функция измерима по t и непрерывна по х,
.
Пусть при функция абсолютно непрерывна, её график содержится в D, и при почти всех
где
Тогда для найдётся такое решение задачи
, (8)
что
(9)
при почти всех
,
- любое такое, что .
Замечание Если в данной теореме вместо условия 5) выполняется условие Липшица, т.е.
то от требования 3) можно отказаться, а в (9)
Функция называется функцией Камке, если она непрерывна по r, измерима по t, для любого c и при единственным решением задачи является функция . Например, если функция суммируема, то k(t)r - функция Камке
Теорема Пусть многозначное отображение удовлетворяет следующим условиям:
) множество непустое и замкнутое;
) функция суммируема;
) функция измерима по t при каждом фиксированном x;
) - функция Камке.
Тогда каждое решение включения
cначальным условием является пределом равномерно сходящейся последовательности решений включения (7).
Теорема Пусть в ограниченной замкнутой области D выполнены следующие условия:
1)множество F(t,x) - невыпуклое и замкнуто
2)
) - полунепрерывна сверху на D;
)измерим на D;
)множество выпукло.
Если все решения (7) на отрезке существуют и содержатся в D, то множество таких решений является компактом в пространстве . То же самое справедливо для множества всех решений со всевозможными начальными условиями - компакт, . Если К-компакт, К D. Если К - связный компакт ( в частности, если К - точка ), то множество связно.
Определение Многозначная функция называется R-решением, порожденным дифференциальным включением (7), если при каждом t множество R(t) замкнуто, функция R(•) абсолютно непрерывна и для почти всех t
Теорема Пусть F(x, t) при каждом t, x - выпуклый компакт и как многозначная функция непрерывна по совокупности переменных. Тогда существует такое, что на полуинтервале существует R- решение, попрождённое многозначной функцией F(t,x).
Теорема Пусть F(t,x) удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности Тогда при всех , для которых решение определено и , оно единственно. Более того, имеет место непрерывная зависимость решения от начального множества .
Теорема Пусть при , где множество открыто и ограничено и в функция F(t,x) липшецева. Тогда множество R(t) при является множеством достижимости в момент t из .
Теорема Для любого компакта существует R-решение с начальным условием . Интегральная воронка является графиком R-решения R(•). Если выполнено условие 5) с функцией Камке , то R- решение с начальным условием единственно, непрерывно зависит от К и его график является интегральной воронкой.
Пример
Пусть .
При отображение не удовлетворяет условию Липшица.
Пусть Проверим, что многозначное отображение
является R - решением дифференциального включения
,
т.е. удовлетворяет уравнению
При очевидно, что удовлетворяет (12).
Пусть
Пусть
При совпадает с интегральной воронкой .
Все остальные соответствующие произвольным значениям , таковы, что
Если
единственно и совпадает с интегральной воронкой.
Выводы
Таким образом в курсовой работе изучена теория дифференциальных включений, рассмотрен исторический аспект рассматриваемого объекта, изучены основы многозначного анализа. Для дифференциальных включений рассмотрены различные понятия решения: обычные, обобщенные и R-решения, изучены условия существования и единственности этих решений, рассмотрены примеры.