Дифференциальные включения
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
т место равенство .
С помощью данной теоремы можно довольно просто находить интегралы от многозначных отображений Действительно, для этого достаточно в соответствии с формулой построить опорную функцию проинтегрировать уже однозначную функцию по при каждом значении а затем восстановить по полученной опорной функции непустое выпуклое компактное множество Заметим, что для восстановления выпуклого множества достаточно подобрать такое множество , чтобы его опорная функция совпадала с Тогда согласно следствию 6 из свойства 11 опорных функций
3.Дифференциальные включения
.1 Уравнения в паратингенциях и контингенциях
Паратингенцией функции в точке будем называть множество
Контингенцией функции в точке будем называть множество
Пример. Пусть , тогда .
Рассматривая уравнения с многозначной правой частью, С.Заремба ввел понятие дифференциального уравнения в паратингенциях
(3.1.1.)
а А. Маршо - понятие дифференциального уравнения в контингенциях
(3.1.2.)
где - многозначное отображение.
3.2 Понятия решения ДВ: обычные, обощенные и R-решения
Теоремы Примеры.
Определение Непрерывная функция , называется решением дифференциального уравнения в паратингенциях (контингенциях), если включение (3.1.1.) (соответственно (3.1.2.)) справедливо для всех .
Ниже
Определение Абсолютно непрерывная функция называется обычным решением дифференциального включения (3), если
(3.2.1.)
почти всюду на отрезке
Теоремы существования обычных дифференциальных включений
Дифференциальное включение с начальным условием - существует, если выполняется одно из следующих условий:
-непрерывно и -непустое замкнутое подмножество для всех
) - измеримо
Для почти всех t, для каждой точки х, имеет замкнутый график и - выпукло или в некоторой окрестности х полунепрерывно снизу
Функция - локально интегрально ограничена, т.е. для каждого ограниченного подмножества существует функция такая, что для
)- измеримо.
Для каждого t, имееет замкнутый график и в каждой точке х, для которой невыпукло, - полунепрерывно снизу.
- локально слабо интегрально ограничено, т.е. для каждого , - слабо интегрально ограничено для c функцией .
При выполнении одного из данных предположений, будет существовать хотя бы одно обычное решение включения на некотором сегменте .
Если же в 3ем предположении заменить последнее условие на более жесткое:
- слабо интегрально ограничено, т.е. существуют такая, что для почти всех t и x , то обычное решение дифференциального включения (3) будет существовать на всём .
Теорема Пусть полунепрерывно сверху по на Тогда система соотношений
) непрерывна на .
)всюду на .
эквивалентна системе следующих соотношений:
3) абсолютно непрерывна на .
) почти всюду на .
Определение Непрерывная функция называется решением уравнения (2), если для почти всех
.
Можно сделать следующее утверждение: Пусть и
)отображение измеримо по x при каждом фиксированном х;
)отображение полунепрерывно по х при каждом фиксированном t.
Тогда множество OB(F) совпадает с множеством решений в смысле последнего определения.
Но данное утверждение неверно, а указанная в нём эквивалентность не может быть получена ни при каких условиях, накладываемых на правые части, если решение уравнения в контингенциях понимается в смысле последнего уравнения. Покажем это на примере:
Пусть Обычным решением включения является единственная функция . В качестве решения уравнения в контингенциях в смысле последнего определения можно взять, например, функцию где - произвольная константа, а - непрерывная монотонно возрастающая функция производная которой почти всюду равна 0 и Построим такую функцию:Выберем , зададим по индукции последовательность функций следующим образом: положим пусть определена, непрерывна и линейна на каждом интервале вида , где ; тогда мы зададим так, чтобы равнялось для ; в средних точках указанных интервалов; т.е. при , положим
а в интервалах будем считать линейной. Определённые таким образом функции , очевидно, возрастают. Далее,
поэтому последовательность сходится к некоторой неубывающей функции . Докажем, что строго возрастает, непрерывна и
почти всюду.
Пусть x - какая-нибудь точка интервала [0,1]. Возьмем последовательность вложенных интервалов вида где
окружающих точку х. Мы имеем, очевидно,
Так как , то
откуда получаем
.
Отсюда следует, что
и
таким образом, - функция непрерывная и строго возрастающая. Далее, производная там, где она существует, равна пределу выражения
при ; но такой предел либо не определён, либо бесконечен, либо, наконец, равен 0. Следовательно во всех точках, где существует, т.е. почти всюду.
Тем самым данная функция не является абсолютно непрерывной, а значит не является решением , т.е. эквивалентности решений нет. Очевидно, что данная функция будет решением любого уравнения в контингенциях в смысле последнего определения при любой правой части, которая содержит точку 0 при всех
Так же очевидно, что
Определение Функция называется обоб