Дифференциальные включения
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
¶еств и из пространства является также Элементом пространства Кроме того, если множества , выпуклы, то их алгебраическая сумма + также будет выпуклым множеством.
Если множество состоит из единственной точки, то есть , то множество получается параллельным сдвигом множества на вектор .
Пусть шар радиуса с центром в точке то есть
Тогда
то есть при сложении двух шаров их радиусы суммируются и векторы, задающее центры шаров, также суммируется.
Из этой формулы при мы получаем, что
Операция алгебраической суммы для любых множеств удовлетворяет следующим свойствам:
) коммутативности
) ассоциативности
) существует нулевой элемент :
Следует отметить, что если множество состоит более чем из одной точки, то у такого множества нет обратного элемента относительно введенной операции суммы множеств, то есть не существует такое множество что Если же то
Определение 2. Произведением множества на число называется множество
Произведение на произвольное число является элементом пространства Кроме того, если множество выпуклое, то и множество также выпуклое.
При умножении шара радиуса с центром в a на число радиус шара умножается на а центр - на то есть
Таким образом, учитывая формулу , имеем
Непосредственно проверяется, что для любых чисел и любых двух множеств выполняются следующие свойства:
)
)
)
Пространство не является линейным пространством с введенными операциями алгебраической суммы двух множеств и умножения множества не число хотя бы потому, что не у каждого элемента есть обратный элемент Кроме того, не всегда выполняется необходимый для линейности закон дистрибутивности, то есть не всегда выполняется равенство:
Вместо равенства в формуле справедливо лишь одностороннее включение
Оказывается, что если и множество выпукло, то формула в этом случае справедлива.
Пусть и в пространстве задано линейное преобразование с помощью матрицы (с действительными элементами) размером .
Определение 3. Образом множества при линейном преобразовании, задаваемом матрицей , называется множество
Легко проверить, что образ множества при линейном преобразовании также является элементом пространства Кроме того, если множество выпуклое, то и множество также выпукло.
.2 Опорная функция и ее основные свойства
Определение 4. Пусть задано некоторое множество Опорной функцией множества называется скалярная функция векторного аргумента определяемая условием
Множество также считается одним из аргументов функции . Зафиксируем множество . Функция как функция аргумента отображает пространство в числовую ось Максимум в правой части равенства достигается, так как скалярное произведение непрерывно по а множество компактно.
Пусть некоторый фиксированный вектор, а один из векторов множества , на котором достигается максимум в определении опорной функции для вектора , то есть выполняется равенство
В этом случае вектор называется опорным вектором к множеству в точке , а совокупность всех векторов , удовлетворяющих равенству , называется опорным множеством к множеству в направлении вектора . Гиперплоскость в пространстве определяемая соотношением
называется опорной гиперплоскостью к множеству в направлении вектора
Для опорного множества справедливо представление
Гиперплоскость разбивает все пространство на два полупространства и Множество лежит в отрицательном полупространстве относительно вектора , так как для всех точек выполняется неравенство
Свойства опорных функций
1. Опорная функция положительно однородна, то есть
для любого вектора и любого числа . В частности, .
. Для любых двух векторов опорная функция удовлетворяет неравенству
Следствие 1. Опорная функция является выпуклой.
. Пусть Тогда опорная функция суммы равняется сумме двух опорных функций и , то есть
4. Пусть - матрица размером , а Тогда
где матрица, транспонированная к матрице А.
. Пусть a произвольное число. Тогда
Следствие 2. Опорная функция положительно однородна по первому аргументу , то есть для любого числа .
. Пусть Если выполняется включение , то для любого вектора справедливо неравенство
Следствие 3. Пусть Если точка принадлежит множеству , то для любого вектора выполняется неравенство
. Пусть Тогда опорные функции множеств и совпадают, то есть
. Пусть заданы множество и его опорная функция . Тогда выпуклая оболочка множества представляется в виде
Здесь и далее S - единичная сфера с центром в начале координат.
9. Пусть Если для любого вектора выполняется неравенство
то точка принадлежит выпуклой оболочке множества
Следствие 4. Пусть множество В таком случае точка принадлежит множеству тогда и только тогда, когда неравенство выполняется для любого вектора .
. Пусть Если для любого вектора выполняется неравенство
то справедливо включение G coF.
Следствие 5. Пусть и мн