Динамика микромеханического гироскопа камертонного типа на подвижном основании
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
µтом замены получаем:
(2.18)
Выделим второе и четвертое уравнения системы. Умножим второе уравнение на мнимую единицу и сложим с четвертым.
учетом замены получим:
(2.19)
Решение будем искать в виде: , . (2.20)
Запишем определитель для данной системы:
Найдем и подставим его в первое уравнение системы:
(2.21)
Обозначим для простоты (2.22)
Выразим константы и через и , для этого запишем:
(2.23)
откуда: (2.24)
При этом ,
,
Подставим и , получим:
(2.25)
При этом по формуле Эйлера:
(2.26)
Константы и представим как:
(2.27)
Т.о.:
Мы получили решение для медленных переменных Ван-Дер-Поля:
(2.28)
Произвольные постоянные найдем исходя из начальных условий :
После подстановки получаем:
(2.32)
Мы получили точное решение системы. Теперь найдем численное. Вернемся к системе. Приведем ее к виду:
(2.35)
где ,
Решение представим в виде переменных и от безразмерного времени в зависимости от различных:
Рис.3 График переменных и при
Рис.4 График переменных и при .
Рис.5 График переменных и при
Рис.6 График переменных и при
Рис.7 График переменных и при
Рис.8 График переменных и при
Амплитуды колебаний гироскопа будем искать в виде:
(2.36)
где А - амплитуда колебаний по переменной , а B - по переменной .
Рис.9 Амплитуда собственных колебаний при
Рис.10 Амплитуда собственных колебаний при
Рис.11 Амплитуда собственных колебаний при .
Полученные графики дают нам представление об изменении амплитуды колебаний гироскопа.
Проиллюстрируем более наглядно изменение амплитуды А от величины разночастотности. Для этого выведем все три графика амплитуды А в зависимости от времени :
Рис.12 Численное моделирование амплитуды А при ,, (красным цветом представлена А при, серым, - А при ,, зеленым, А - при ).
3. Свободные колебания гироскопа на подвижном основании с учетом трения
.1 Случай одночастотной системы:
Имеем следующую систему уравнений движения гироскопа:
(3.1)
Найдем решение в переменных Ван-Дер-Поля. Применим к нашей системе метод Страбла и приведем ее к стандартному виду посредством перехода от переменных и к медленным переменным по формулам:
(3.2)
Найдем производные первого и второго порядков переменных и по времени t:
Подставим полученные уравнения в нашу систему:
Запишем дифференциальные уравнения гироскопа пренебрегая слагаемыми второго порядка малости:
В силу ортогональности можем записать выражения:
Получим уравнения для медленных переменных:
, . (3.3)
Найдем решение системы, для этого введем замену переменных:
(3.4)
Запишем систему с учетом переменных:
(3.5)
Заметим, что структура системы идентична структуре системы без трения, поэтому можно записать решение в аналогичном виде:
(3.6)
Где - угол, пропорциональный интегралу от угловой скорости основания гироскопа:
(3.7)
Перейдем, используя замену к переменным
(3.8)
Эти формулы являются решением с точностью до порядка .
Найдем произвольные постоянные из следующих начальных условий:
(3.9)
Производные по переменным определим из выражений:
Здесь мы пренебрегли производными по переменным т.к. они имеют порядок бесконечно малой величины в то время как на практике величины всегда конечны.
Тогда, подставляя начальные условия в выражения, получим:
(3.10)
Учитывая условия, запишем и :
(3.11)
Рассмотрим соотношение и в уравнениях:
(3.12)
В плоскости фазовая точка описывает прямую, которая со временем будет поворачиваться в зависимости от угловой скорости основания:
Рис.13. Фазовые траектории системы.
Таким образом гироскоп является датчиком угла поворота.
.2 Случай разночастотной системы
Предположим теперь, что имеем разночастотную систему:
При этом а но т.к. мало, значит , тогда система уравнений гироскопа примет вид:
(3.13)
Используя замену переменных, найдем производные первого и второго порядка переменных и по времени.
Подставим полученные уравнения в нашу систему:
,
.
Запишем дифференциальные уравнения гироскопа пренебрегая слагаемыми второго порядка малости:
В силу ортогональности можем записать выражения для и :
Получим уравнения для медленных переменных:
(3.14)
Найдем численное решение системы, для этого приведем ее к виду:
(3.15)
где ,
Решение представим в виде переменных и от безразмерного времени в зависимости от различных:
Рис.14 График переменных