Динамика микромеханического гироскопа камертонного типа на подвижном основании
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
истемы (1.36):
Найдем значение и подставим его в 1 уравнение системы:
Теперь введем обратную замену:
(1.38)
Запишем выражения для и с учетом замены (1.38):
(1.39)
Запишем определитель полученной системы:
Найдем и подставим его в первое уравнение системы:
Производя аналогичные построения для переменных и , мы получим полный набор коэффициентов для записи решения системы:
Где - угол, пропорциональный интегралу от угловой скорости основания гироскопа:
(1.42)
Перейдем, используя замену (1.32) к переменным
Эти формулы являются решением с точностью до порядка .
Найдем произвольные постоянные из следующих начальных условий:
(1.44)
Производные по переменным определим из выражений:
Здесь мы пренебрегли производными по переменным т.к. они имеют порядок бесконечно малой величины в то время как на практике величины всегда конечны.
Тогда, подставляя начальные условия в выражения, получим:
Учитывая условия, запишем и :
Рассмотрим соотношение и в уравнениях:
(1.46)
В плоскости фазовая точка описывает прямую, которая со временем будет поворачиваться в зависимости от угловой скорости основания:
Рис.1. Фазовые траектории системы.
Таким образом гироскоп является датчиком угла поворота.
.2 Случай разночастотной системы
.2.1 Рассмотрим свободные колебания гироскопа на неподвижном основании:
Уравнения преобразуются следующим образом:
(2.1)
где
Ищем решение системы в виде:
(2.2)
Где - произвольные постоянные.
Обозначим для кратности ,
, где .
В этом случае уравнения примут вид:
(2.3)
Собственная форма колебаний резонатора:
(2.4)
Таково решение исходной задачи по основной форме колебаний. Далее установим связь между каноническим представлением волновой картины колебаний и медленно изменяющимися переменными, которые измеряются емкостными датчиками прибора.
(2.5)
что дает возможность получить формулы перехода от переменных и и медленных переменных Ван-Дер-Поля, непосредственно измеряемых в гироскопе.
(2.6)
где (2.7)
Установим связь с каноническим представлением волновой картины колебаний в тороидальных координатах:
(2.8)
где - угол ориентации волновой картины, - фаза, характеризующая изменение частоты колебаний.
Определим связь между переменными и из уравнений путем тригонометрических преобразований
(2.9)
Из этих соотношений получаем:
Величина P характеризует сумму квадратов амплитуд нормальной и основной квадратурной волн колебаний резонатора, значение Q=0 является условием существования стоячей волны колебаний резонатора.
(2.10)
здесь a, b,, - медленные переменные амплитуда-фаза.
. (2.11)
Отсюда получим угол прецессии:
(2.12)
Угловая скорость прецессии:
(2.13)
Рассмотрим интересный с точки зрения практики случай возбуждения стоячей волны колебаний. Пусть тогда получим угловую скорость в виде:
(2.14)
Числовой пример.
Таблица 1. Массово-упругие характеристики
МатериалПлотность , Модуль упругости , ГПаПлавленый кварц2.20173
Таблица 2. Геометрические характеристики
Радиус полукольца R, ммТолщина полукольца h, ммШирина полукольца b, ммПлощадь поперечного сечения, Момент инерции сечения I, 30.150.30.0451125Собственная частота колебательного контура .
Частотная расстройка
Коэффициент трения ,
Здесь - добротность.
В дополнение к данным предыдущего числового примера положим, что имеется малая инструментальная погрешность изготовления резонатора по толщине диска , максимальная погрешность составляет 1мкм . В этом случае имеем расщепление частот = 240Гц = 0.004%.
Связанное с этим биение резонатора иллюстрируется:
Рис.2 Скорость прецессии волновой картины колебаний.
Анализ показывает, что инструментальная погрешность изготовления резонатора вызывает переодическое изменение ориентации волновой картины колебаний резонатора, являющихся систематической погрешностью гироскопа.
.2.2 Рассмотрим свободные колебания гироскопа на подвижном основании:
Предположим теперь, что имеем разночастотную систему:
При этом а но т.к. мало, значит , тогда система уравнений гироскопа примет вид:
(2.15)
Используя замену переменных, найдем производные первого и второго порядка переменных и по времени.
Подставим полученные уравнения в нашу систему:
После линеаризации система примет вид:
В силу ортогональности можем записать выражение:
Получим уравнения для медленных переменных:
(2.16)
Введем следующую замену:
(2.17)
Выделим первое и третье уравнения системы. Умножим первое уравнение на мнимую единицу и сложим со вторым.
С уч?/p>