Динамика микромеханического гироскопа камертонного типа на подвижном основании
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
движения в разложении по данному базису есть:
(1.7)
Разложим относительную скорость движения по данному базису:
(1.8)
Теперь можем записать абсолютную скорость:
(1.9)
Мы нашли все неизвестные, запишем удельную кинетическую энергию:
(1.10)
Найдем удельную потенциальную энергию гироскопа. Она состоит из потенциально энергии полукольца и потенциальной энергии балки:
(1.11)
Здесь с - жесткость балки,
Далее проинтегрируем удельную кинетическую и удельную потенциальную энергию от 0 до , чтобы получить кинетическую и потенциальную энергию для полукольца и построим Лагранжиан (1.1) системы:
(1.12)
.1 Составление уравнений движения с помощью принципа Гамильтона
Получим уравнения движения гироскопа, используя принцип наименьшего действия Гамильтона-Остроградского.
Действие по Гамильтону имеет вид:
(1.13)
Воспользуемся гипотезой о нерастяжимости срединной линии резонатора:
(1.14)
Проведем соответствующую замену переменных:
(1.15)
(1.16)
Таким образом (1.13):
(1.17)
На истинном пути действие по Гамильтону принимает стационарное значение, то есть Следовательно,
Выполним некоторые преобразования над варьируемыми переменными:
Выпишем интегро-дифференциальные уравнения гироскопа:
.2 Составление уравнений движения с помощью уравнений Эйлера
Проведём проверку полученных уравнений движения гироскопа с помощью уравнений Эйлера
Действие по Гамильтону имеет вид
(1.20)
Подынтегральное выражение есть функция
Оба уравнения вариационной задачи будут выглядеть:
(1.21)
Выведем первое интегро-дифференциально уравнение гироскопа:
Таким образом, после подстановки в (1.21) получим:
Соберем все подобные слагаемые:
(1.22)
Выведем второе интегро-дифференциально уравнение гироскопа:
Таким образом, после подстановки в (1.21) получим:
(1.23)
Получили интегро-дифференциальные уравнения движения гироскопа с помощью уравнений Эйлера. Они совпадают с уравнениями (1.19), полученными с использованием принципа наименьшего действия Гамильтона-Остроградского.
.3 Решение уравнений движения методом Бубнова-Галеркина
Решение уравнений будем искать в одномодовом приближении с помощью метода Бубнова-Галеркина для функции нормального прогиба в виде:
(1.24)
Чтобы подставить функцию в уравнения, найдем все остальные ее производные:
Интегро-дифференциальные уравнения после подстановки примут вид:
Приведем подобные слагаемые, уравнения примут вид:
(1.25)
Для первого уравнения проведем непосредственно процедуру Бубнова-Галеркина:
Проинтегрируем оба уравнения:
.4 Линеаризация уравнений движения
Раскроем скобки в уравнениях (1.26), получившихся после проведения процедуры Бубнова-Галеркина:
,
Отбросим все нелинейные слагаемые.
В первом уравнении избавимся от
Во втором уравнении от
.
В итоге получены следующие уравнения:
Разделим оба уравнения на коэффициенты при старшей производной:
(1.28)
.5 Нормализация уравнений движения
Обезразмерим переменную , для этого введем новую переменную
(1.29)
Уравнения движения примут следующий вид:
(1.30)
Обозначим частоту колебаний решения в первом уравнении как:
Коэффициент при гироскопическом слагаемом в первом уравнении как:
Обозначим частоту колебаний решения во втором уравнении как:
Коэффициент при гироскопическом слагаемом во втором уравнении как:
В итоге получили уравнения:
Уравнения примут вид:
(1.31)
2. Свободные колебания гироскопа без учета трения
.1 Случай одночастотной системы
Имеем следующую систему:
(1.31)
Найдем решение системы (1.31) в переменных Ван-Дер-Поля. Применим к нашей системе метод Страбла и приведем ее к стандартному виду посредством перехода от переменных и к медленным переменным по формулам:
(1.32)
Найдем производные первого и второго порядков переменных и по времени t:
Подставим полученные уравнения в нашу систему (1.32):
После линеаризации система примет вид:
Разделим на коэффициенты при старшей производной, т. о. получим уравнения для медленных переменных:
(1.33)
Найдем решение системы (1.33), для этого запишем второе и четвертое уравнение следующим образом:
Введем замену переменных:
(1.34)
Продифференцируем уравнения замены:
(1.35)
Запишем уравнения для и с учетом замены (1.34), (1.35):
Упрощая выражения, получим:
(1.36)
Запишем определитель полученной с