Электронный энергетический спектр неодима
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
ие Томаса-Ферми.
Для численного решения (2.75) необходимо использовать два краевых условия.
1). , т.е.
).
xФ(x)0 0,1 0,6 1 2 5 10 161 0,882 0,562 0,425 0,244 0,0788 0,0244 0,0094
Для любого нейтрального атома имеется точное решение уравнения Томаса-Ферми.
Используя полученное решение можно восстановить распределение электронной плотности для любого нейтрального атома следующим образом:
(2.77)
(2.77) получается из уравнения Пуассона.
В качестве положительного момента теории Томаса-Ферми можно отметить то, что она дает возможность получить распределение всех электронов для произвольного атома, которое можно использовать для построения электронной плотности в кристаллах.
В качестве недостатка теории можно отметить, что в рамках теории Томаса-Ферми нельзя получить электронные плотности отдельных оболочек.
Следует отметить, что теория Томаса-Ферми стала фундаментом современной теории электронного строения твердых тел, а именно, теории так называемого функционала плотности.
4. Теория функционала плотности.
Теория функционала плотности является в настоящее время одним из ведущих научных направлений в теории твердого тела. В основу данного направления положен статистический метод Томаса-Ферми [5].
Основная задача статистического подхода Томаса-Ферми состоит в нахождении распределения электронной плотности, в частности, изолированного нейтрального атома. При этом все остальные характеристики системы однозначно определяются указанной функцией распределения. Рассмотрим метод Томаса-Ферми применительно к отдельному атому. Электронный газ будем считать однородным. Поверхность Ферми такого газа представляет собой сферу радиуса . Выделим элемент фазового объема:
(2.78)
В одной элементарной ячейке фазового пространства в основном состоянии находится два электрона. Тогда число электронов в объеме равно
(2.79)
и электронная плотность однородного газа запишется в виде
(2.80)
Предположение, что полученное соотношение (2.80) можно непосредственно применить для получения электронной плотности неоднородного газа , составляет суть т.н. локального приближения:
(2.81)
Максимальная кинетическая энергия равна
(2.82)
При этом электростатический потенциал, действующий на электрон в атоме, равен сумме ядерного потенциала и потенциала электронов:
(2.83)
С учетом (2.82) и (2.83) максимальная энергия электрона имеет вид:
(2.84)
Константа есть химический потенциал. Объединяя (2.81) и (2.84), получим уравнение:
(2.85)
Т.к. и связаны уравнением Пуассона (потенциал влияет на распределение плотности только вблизи ядра и для получения его можно опустить)
(2.86)
Данное уравнение и есть уравнение Томаса-Ферми, которое для сферически-симметричного случая используется в безразмерном виде:
(2.87)
где
(2.88)
Чтобы при потенциал переходил в потенциал ядра, необходимо использовать граничные условия в виде
Точно уравнение (2.87) решается только численным путем.
Рассмотрим возможность данного подхода для расчета полной энергии кристалла. Сначала найдем плотность средней кинетической энергии. Используя известное соотношение для средней кинетической энергии электрона однородного газа
(2.89)
где(2.90)
получим(2.91)
В локальном приближении плотность кинетической энергии запишется следующим образом:
(2.92)
Дальнейшим этапом развития метода Томаса-Ферми явилось введение Дираком обменных поправок. Выясним физическую сущность обменного взаимодействия. Вследствие принципа запрета Паули в окрестности электрона с определенным направлением спина будет создаваться область пространства, которая характеризуется недостатком электронов с аналогичным направлением спина. Другими словами, вокруг выбранного электрона образуется т.н. обменная дырка [5]. При этом результирующую плотность электронов внутри дырки можно записать в виде произведения плотности однородного газа (2.79) и парной корреляционной функции :
(2.94)
где (2.95)
Здесь функция равна Ѕ в центре дырки и равны 1 на границе дырки; - сферическая функция Бесселя, т.е.
(2.96)
Вследствие распределения электронной плотности в окрестности выбранного электрона произойдет оголение положительного фона. Плотность данного положительного фона согласно (2.94) запишется в виде:
(2.97)
Тогда обменная энергия равна энергии электростатического притяжения выбранного электрона в центре дырки с положительным зарядом (2.97). А именно, плотность обменной энергии будет равна:
(2.98)
Интеграл в (2.98) вычисляется аналитически. Окончательно получим, что
(2.99)
где
Использование локального приближения дает:
(2.100)
Следует отметить, что корреляция в движении электронов помимо запрета Паули дополнительно обусловлена кулоновским отталкиванием электронов. Этот дополнительный вклад называется корреляционной энергией. Данные эффекты более подробно будут обсуждаться ниже.
Таким образом, из уравнения Томаса-Ферми (2.87) можно рассчитать суммарную электронную плотность конкретного атома . Тогда кристаллическая электронная плотность в первом приближении вы?/p>