Электронный энергетический спектр неодима
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
°ется, через объем шара ),
(2.9)
Подставим (2.9) в (2.7):
(2.10)
Сосчитаем число электронов для данных квантовых ячеек. Воспользуемся статистикой Ферми-Дирака (2.8):
Следовательно:
(2.11)
Внесем поправку применительно к модели "желе": на каждом уровне по 2 электрона с разными спинами.
(2.12)
Учтем, что при Т=0 К в интересующей нас области:
(2.13)
Будем полагать, что в пространстве импульсов все состояния заняты, вплоть до
(2.14)
Проинтегрируем (2.13) по всему фазовому объему.
(2.15)
V - объем всего газа.
Подчеркнем, что при интегрировании учитывается тот факт, что электроны не взаимодействуют друг с другом и интегрирование можно проводить для каждого электрона независимо.
(2.16)
Как видно из полученного результата, импульс Ферми зависит только от концентрации электронного газа.
(2.17)
Подставляя (2.16) в (2.14), получим:
(2.18)
Физический смысл: уровень Ферми - это максимальная кинетическая энергия при Т=0 К.
Чтобы получить электронный спектр (зависимость энергии от импульса), надо решить стационарное уравнение Шредингера:
(2.19)
В общем случае волновая функция является много электронной:
(2.20)
В нашей модели электроны не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, следовательно, каждый электрон можно рассматривать независимо от других и использовать одноэлектронное приближение.
Его суть: полагаем, что электрон движется во внешнем эффективном поле, создаваемом ядрами и остальными электронами.
(2.21)
Если воспользоваться приближением, для потенциальной ямы, то эффективный потенциал можно считать постоянным: . Эту постоянную в целях удобства можно считать равной нулю.
(2.22)
Подставим (2.22) в (2.19):
(2.23)
Будем искать решение в виде плоской волны:
(2.24)
- волновой вектор электрона в металле.
Электрон, согласно теории корпускулярно-волнового дуализма представляет волну де Бройля. Рассмотрим брусок металла в виде куба.
Волновая функция должна удовлетворять условию нормировки:
(2.25)
С физической точки зрения (2.25) означает, что вероятность нахождения отдельного электрона в бруске является вероятностью достоверного события.
(2.26)
(2.27)
Подставим (2.27) в (2.23):
(2.28)
(2.29)
Сопоставим (2.23) и (2.29):
(2.30)
(2.31)
Таким образом в модели свободных электронов каждое состояние фиксируется при помощи волнового вектора:
(2.32)
и определяется (2.31).
Воспользуемся циклическими условиями Борна-Кармана:
(2.33)
С точки зрения физики это означает, что вероятность нахождения электрона, к примеру в точке 0, такая же как и в точках А, В, С. Приближение свободного электрона - делокализованный электрон.
В (2.33) подставим плоскую волну.
Т.к. равны экспоненты, то и их показатели равны.
(2.34)
(2.35)
Их решение:
, где (2.36)
(2.37)
Подставим (2.37) в (2.31):
(2.38)
Если учесть, что - набор целых чисел, получим, что энергетический спектр (2.38), строго говоря, является дискретным.
Найдем минимальное расстояние между данными точками.
Т.к.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что энергетические зазоры между отдельными состояниями в k пространстве пренебрежительно малы по сравнению с максимальной кинетической энергией . В таком случае спектр называется квазинепрерывным.
(2.39)
Найдем максимальное значение волнового вектора. Но вначале докажем, что плоская волна является соответствующей функцией оператора импульса:
(2.40)
(2.40) - квазиимпульс.
(2.41)
2.2 Современные методы расчета зонной структуры. Теория функционала электронной плотности
Кристалл представляет собой систему, включающую в себя положительно заряженные ядра, а также электроны. Для нахождения электронного спектра такого рода системы необходимо решение многочастичного уравнения Шредингера [6].
(2.42)
- набор координат электрона.
- набор координат ядер.
При этом гамильтониан имеет вид:
(2.43)
- кинетическая энергия электронов.
- кинетическая энергия ядер.
- энергия межэлектронного отталкивания.
- энергия межъядерного отталкивания.
- энергия притяжения между ядрами и электронами.
В виду громоздкости данное уравнение неразрешимо. Для разрешения данного уравнения используют приближения:
а). Адиабатическое приближение: электрон перемещается существенно быстрее ядер. По этой причине можно рассматривать движение электрона в неподвижном поле ядер, т.е. разделить электронную и ядерную подсистемы и рассматривать их отдельно. С математической точки зрения это можно представить:
(2.44)
(3) - уравнение для электронных подсистем.
(2.45)
(2.46)
б). Одноэлектронное приближение (приближение самосогласованного поля).
(2.46) с математической точки зрения является еще достаточно сложным. По этой причине следующим шаг?/p>