Трикутник Рьоло (треугольник Рёло)
Информация - Разное
Другие материалы по предмету Разное
Трикутник Рьоло (Треугольник РЁЛО)
ВСТУП
Ще з часiв Древнього Сходу, вiд цивiлiзацii РДгипту i Вавилона дiйшли до нас древнi математичнi тексти, що свiдчать про ту велику увагу, що придiляли нашi предки розвитку геометрii [1]. У РДгиптi i Вавилонi не було великих земельних площ, i господарча дiяльнiсть вимагала проведення значних iригацiйних робiт, земельного упорядкування, зокрема установки границь дiлянок пiсля повеней, що приносили рiчковий мул, який руйнував границi земельних надiлiв.
Змiцнення централiзованих держав сприяло створенню мiст, розвитку торгiвлi. Виникали математичнi задачi, звязанi з вимiром площ полiв, обСФмiв гребель i зерносховищ i т. д. Термiнiв тАЬтрикутниктАЭ, тАЬчотирикутниктАЭ, тАЬфiгуратАЭ тодi ще не було. У папiрусах, що дiйшли до нас, мова йшла про пряме, косе чи кругле поле, дiлянку з границею, довжиною i шириною. Площi прямокутникiв, трикутникiв i трапецiй древнi люди вже тодi обчислювали за точними правилами, що зайвий раз доводило, наскiльки важливими для повсякденного життя були цi простi геометричнi фiгури.
У Древнiй Грецii протягом трьох столiть ученi створили теорii, глибину яких змогли по-справжньому зрозумiти й оцiнити лише математики XIX-XX столiть. Слава засновника давньогрецькоi математики належить Пiфагору Самоському, що перетворив геометрiю зi зборiв рецептiв рiшень рiзних задач в абстрактну науку. Ця наука розглядаСФ вже не площi полiв, мiсткiсть зерносховищ, дамб чи штабелiв цегли, а геометричнi фiгури-абстракцii, iдеалiзацii визначених властивостей реальних обСФктiв.
З часом знання людства в галузi геометрii розширювалися й удосконалювалися, але не вгасав науковий i практичний iнтерес до найпростiших геометричних фiгур, зокрема до трикутника плоскоi фiгури, утвореноi зСФднанням трьох точок прямими лiнiями. Усiм вiдомi рiвностороннi, рiвнобедренi, тупо- i гострокутнi трикутники, прямокутнi трикутники, що широко використовуються для рiшення простих задач повсякденного життя (побудови iнших плоских i просторових фiгур, обчислень площ, обСФмiв i т.д.). Менш вiдомi деякi iншi види трикутникiв, наприклад [2, 3]:
педальний трикутник (щодо даного трикутника АВС) трикутник, вершини якого СФ основами перпендикулярiв, опущених з довiльноi точки Р, що знаходиться у серединi трикутника АВС на сторони трикутника АВС;
ортоцентральний трикутник окремий випадок педального трикутника, при якому довiльна точка Р СФ точкою перетину висот трикутника АВС;
серединний трикутник (щодо трикутника АВС) трикутник, побудований шляхом зСФднання середин сторiн даного трикутника АВС;
рiзницевий трикутник трикутник, довжини сторiн якого складають арифметичну прогресiю;
бiсектральний трикутник трикутник, вершинами якого СФ точки перетину бiсектрис даного трикутника АВС iз протилежними сторонами.
З розвитком науки про трикутники в побут учених (та й не тiльки iх) увiйшли характернi назви деяких точок i лiнiй трикутника:
чевiана вiдрiзок, що зСФднуСФ вершину трикутника з деякою точкою на протилежнiй сторонi;
висота чевiана, опущена пiд прямим кутом на протилежну сторону трикутника;
бiсектриса чевiана, що подiляСФ навпiл кут при данiй вершинi, з якоi вона опущена;
медiана чевiана, що зСФднуСФ вершину трикутника iз серединою протилежноi сторони;
центр кола, описаного навколо трикутника, - точка перетину трьох перпендикулярiв, що подiляють навпiл сторони трикутника;
центр кола, вписаного в трикутник, - точка перетину бiсектрис трикутника;
ортоцентр трикутника АВiентр кола, вписаного в ортоцен-тричний трикутник вiдносно трикутника АВС;
центроiд точка, що подiляСФ вiдстань вiд ортоцентра до центра описаного навколо трикутника кола у вiдношеннi 2:1;
пряма Ейлера пряма, що зСФднуСФ ортоцентр, центроiд i центр описаного навколо трикутника кола;
коло девяти точок (коло Ейлера) коло, на якому лежали основи трьох висот довiльного трикутника, середини трьох його сторiн i середини трьох вiдрiзкiв, що зСФднують його вершини з ортоцентром.
Потреба в дослiдженнi характерних точок i лiнiй трикутникiв виникла як з науковоi цiкавостi, так i з чисто практичними цiлями. РЖ якщо в стародавностi найбiльш широко використовувався на практицi прямокутний трикутник Пiфагора (рiзницевий трикутник зi спiв-вiдношенням сторiн 3:4:5), то в наш час найбiльший iнтерес викликають незвичайнi властивостi так званого трикутника Рьоло.
1. Кiнематична властивiсть трикутника Рьоло
Цей криволiнiйний трикутник А1В1С1 (див. рис.1) названий на честь нiмецького математика та iнженера Франца Рьоло, який найбiльш повно вивчив його властивостi.
Рис.1. Схема окреслення чотирикутника обертанням трикутника Рьоло
Побудувати трикутник Рьоло досить просто. З кожноi вершини рiвностороннього трикутника слiд провести дугу кола, що зСФднуСФ двi iншi вершини. Отриманий криволiнiйний трикутник вiдноситься (поряд з колом) до так званих кривих постiйноi ширини: коли вiн котиться, верхнi i нижнi точки контуру перемiщуються вздовж паралельних прямих.
Окреслення чотирикутника складеним обертанням трикутника Рьоло
Але найбiльш вiдома кiнематична властивiсть трикутника Рьоло. Якщо обертати трикутник А1В1С1 навколо центра О1 описаного навколо нього кола з радiусом О1А1, а центр трикутника О1 обертати в протилежну сторону в три рази швидше по колу з центром N, то трикутник окреслить фiгуру, що незначно вiдрiзняСФться за формою вiд чотирикутника (