Трикутник Рьоло (треугольник Рёло)
Информация - Разное
Другие материалы по предмету Разное
?ис.1). Зокрема, за один оберт центра О1 направо по колу з радiусом О1N два кути чотирикутника будуть оформленi вершиною А трикутника Рьоло i по одному вершинами В i С, тобто через кожну чверть оберту навколо центру N трикутник Рьоло буде знаходитися в положеннях А2В2С2, А3В3С3 i А4В4С4.
Однак виконанi на рис.1 побудови показують невелику кривину сторiн чотирикутника, про яку також вказують iнженери-експери-ментатори [4, 5]. За iхнiми даними, найбiльше вiдхилення сторони чотирикутника А1А4 вiд iдеальноi прямоi маСФ мiiе в точцi D, для якоi справедлива рiвнiсть А1D = А4D. Трикутник Рьоло при обертаннi контак-туСФ з точкою D серединою своСФi сторони.
ЗясуСФмо, як обчислити це вiдхилення. Позначимо: R радiус описаного бiля трикутника Рьоло кола; r = O1N. Тодi
А1В1=А2В2=А3В3=А4В4= R,
ND= r R + R (1)
З трикутника А1NA4 одержуСФмо
А1N = r + R
NE = (r + R) / 2 (2)
З урахуванням, що DE = ND = NE, з рiвнянь (1) i (2) визначимо
DE = r + R( - 1) (r + R) /,
або
DE = R( 1 ()/2) + r(1 ()/2) ~ 0,025R + 0,293r (3)
Таким чином, вiдхилення DE сторони квадрата вiд iдеальноi прямоi залежить, у першу чергу вiд радiуса r i не може бути усуненим, тому що R i r не можуть дорiвнюватися нулю.
Окреслення n-кутника складеним обертанням m-кутника Рьоло
ТРрунтуючись на отриманих Францем Рьоло результатах, розглянемо бiльш загальну задачу обертання m-кутника Рьоло з рiзними швидкостями навколо центрiв обертання для окреслення замкнутоi фiгури у формi n-кутника (n>m).
Розглянемо кiнематику утворення трикутником Рьоло кутiв А1В2С3 i А4А1В2. Для того, щоб кут А1В2С3 був утворений вершиною В трикутника Рьоло, необхiдно за час t перемiстити трикутник по годинниковiй стрiлцi на кут 2?/n навколо центра N, але при цьому прокрутити його проти годинниковоi стрiлки на кут (2?/n) (2?/m). Визначимо кутовi швидкостi обертання трикутника Рьоло:
? = (2?/nt) (2?/mt) = 2?(m n) / (tmn),
? = 2?/nt,
де? кутова швидкiсть обертання трикутника Рьоло навколо центра О1 описаного бiля нього кола;
? кутова швидкiсть обертання центра О1 навколо центра N.
Установимо, чому дорiвнюСФ спiввiдношення швидкостей:
? / ? = 1 (n / m). (4)
Таким чином, у результатi аналiзу утворення чотирикутника за допомогою трикутника Рьоло встановлено, що цей процес СФ окремим випадком утворення n-кутника в результатi складеного обертання m-кутника. Спiввiдношення (4) показуСФ, що n-кутник може бути окресленим, якщо на процес обертання центра О1 m-кутника навколо центра N накласти обертання в протилежну сторону m-кутника навколо його центра О1 з кутовою швидкiстю ?, що вiдрiзняСФться в n/m раз вiд кутовоi швидкостi ?.
Формула (4) також показуСФ:
1) оскiльки n > m, то кутовi швидкостi ? i ? завжди будуть протилежнi за знаком;
2) трикутник Рьоло при обертаннi з рiзними швидкостями ? i ? може окреслювати будь-який правильний n-кутник (n > m), наприклад, шестикутник, якщо ? = - ?, девятикутник, якщо ? = -2 ? i т.д.;
3) можна замiсть трикутника Рьоло використовувати iншi фiгури з m-ним числом кутiв;
4) з практичною метою, на наш погляд, замiсть трикутника Рьоло можна застосовувати сочевицеподiбний контур (m=2); iнструменти i деталi, що мають цей контур, простiшi у виготовленнi, меншi за габаритами, i, як наслiдок, дешевшi.
Розрахунок контурiв n-кутникiв, що окресленi трикутником Рьоло
Науковий i практичний iнтерес викликаСФ не тiльки необхiднiсть обчислювання вiдхилення DE, але й встановлення координат контурiв n-кутникiв, що окресленi m-кутниками на зразок трикутника Рьоло.
Спочатку визначимо координати будь-якоi точки контуру трикутника Рьоло при сталих ? i ?.
Рис.2. Схема для визначення координат контуру трикутника Рьоло.
Задамо кутом ? точку G на контурi трикутника Рьоло (при подальшому обертi трикутника Рьоло точка G переходить у точку Е контуру чотирикутника). Позначимо центральний LACG=?. Тодi LABG=?/2. Хай OG=R?. Визначимо R?. З трикутникiв АСЕ та АОЕ:
АЕ2=6R2-6R2cos?,
АЕ2=R2+ R?2-2Rr?cos?,
звiдки
cos?=(5R2+2RR?cos?- R?2)/6R2
З трикутника ЕСВ за теоремою косинусiв:
За теоремою синусiв з трикутника ОВЕ маСФмо:
R?=(BE sin(30o+?/2))/ sin(120o-?),
звiдки
Нехай трикутник АВС обертаСФться навколо центру О з кутовою швидкiстю ?. У системi координат, що звязана з центром О, визначимо координати точки G:
XG=R?sin(?-?)
YG=R?cos(?-?)
Якщо центр О обертаСФться навколо центру N з кутовою швидкiстю ?, то точка G перемiщуСФться у точку Е i у системi координат, що звязана з центром N, набуваСФ координати, якi можна обчислити за формулами:
XG=rcos?+ R?sin(?-?) (5)
YG=rsin?+ R?cos(?-?).(6)
Визначимо в загальному виглядi вiдхилення DE (див рис.3).
Рис.3 Схема для визначення вiдхилення DE.
Рiвняння прямоi v, тобто сторони AB1 n-кутника, до якоi належить точка D, маСФ вигляд:
Y=kX+(R+r).(7)
Як вiдомо, коефiцiСФнт k=tg(?), де ? кут мiж прямою v та вiссю х. В нашому випадку для окреслення чотирикутника ?=45о, а для n-кутника ?=180о/n.
Визначимо рiвняння прямоi u, часткою якоi СФ вiдхилення DE:
Y=k1X+b1,(8)
k1=tg(?)=tg(?+90o)=-ctg(?)=-1/k.
Координати точки Е дозволяють обчислити b1:
b1=YE-kXE.
Рiвняння (7) та (8) утворюють систему, рiшенням якоi СФ координати точки D:
XD=(kYE+ XE+k(R+r))/(k2+1),
YD=(k2YE+kXE+k(R+r))/(k2+1).
Таким чином за вiдомими координатами точок D i E можемо обчислити вiдхилення DE за формулою:
Окреслення правильного чотирикутника
складеним оберт