Теоретическая электромеханика
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
?ых состояния могут быть определены из анализа схемы до коммутации (включения E).
Предполагается, что в схеме до коммутации существовал установившийся режим постоянного тока, что позволяет представить схему в виде:
Рис. 2. Схема для определения независимых начальных условий
Анализ схемы рис. 2. позволяет определить независимые начальные условия:
(6)
Определим матричную экспоненциальную функцию по методу Сильвестра.
Матричная функция exp(At) может быть представлена в виде:
exp(At) = (7)
где Аr =
и ?lr???собственные значения матрицы (характеристические числа) A, которые могут быть определены из уравнения:
| A - l? | = 0, что позволяет получить:
l1 = -12010.48
l2 = -3985.293 + 7756.66j
l3 = -3985.293 - 7756.66j
Вещественному отрицательному корню матрицы A будет соответствовать собственное колебание в виде затухающей экспоненты, а паре комплексно - сопряженных корней с отрицательной вещественной частью - затухающая по экспоненте синусоидальная функция с собственной частотой w = 7756.66 рад/с.
Подстановка exp(At) и начальных условий (6) в решение (5) позволяет получить точное (аналитическое) решение (8):
uc1 = 933.79exp(-12010.5t) + 700.379exp(-3985.29t) cos(7756.66t) + 33.2126exp(-3985.29t) - 815.979
uc2 = -1181.65exp(-12010.5t) + 1180.54exp(-3985.29t) cos(7756.66t) -331.989exp(-3985.29t) sin(7756.66t) + 1092.03
il = -6.87810-2 exp(-12010.5t) + 6.9510-2exp(-3985.29t) cos(7756.66t) -0.363exp(-3985.29t) sin(7756.66t) + 0.272
На рис. 3а, 3б, 3в приведен график зависимости напряжения на конденсаторе uC1(t), uC2(t), il(t) построенные на основании (8).
2.1 Численный метод решения метода переменных состояния
Также решение системы уравнений (1) может быть получено с помощью какого-либо численного метода интегрирования дифференциальных уравнений. В этих методах интересующий промежуток разбивается на равные малые интервалы h. Приближенные дискретные значения переменных состояния определяются последовательно, на каждом шаге, начиная от момента t = 0.
Решение системы (1) с использованием явного метода Эйлера или алгоритма Рунге-Кутта первого порядка будет иметь вид:
здесь h - шаг расчета. Чем меньше шаг тем, точнее расчёт. Начальным значениям переменных состояния соответствует k = 0. Оценим временной интервал Dtрасч на основе известных собственных значений матрицы A как Dtрасч =. Здесь ?|lmin| - минимальное собственное значение, если собственные значения являются вещественными, отрицательными и различными, или вещественная часть комплексного собственного значения, если собственные значения являются комплексно сопряженными. Для нашего случая ?|l min| = 3985.293. Тогда шаг расчета может быть найден исходя из выражения: h = Dtрасч/N. N - число шагов на которые разбит интервал Dtрасч. Положим N=150, тогда h = 1.004с. Погрешность расчёта пропорциональна h2. При численном анализе можно избежать составления системы дифференциальных уравнений цепи, если применить приближенные резистивные дискретные схемы замещения емкостных и индуктивных элементов, которые составляют на основе неявных алгоритмов численного интегрирования.
Таблица значений переменных состояния на каждом шаге.
Таблица 1.
Рис. 3а. График напряжения на конденсаторе С1
Рис. 3б. График напряжения на конденсаторе С2
Рис. 3в. График тока на катушке индуктивности L
3. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии
Анализу подлежит схема представленная на рис. 4. Начальные условия в цепи нулевые, в момент t = 0 на вход цепи источником тока подан импульс тока с амплитудой 0.5 А и длительностью 80 мкс. e(t) = 0.
Рис. 4. Схема анализируемой цепи
Рис. 5. Вид подаваемого сигнала
Требуется:
1. Определить функцию передачи:
. Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.
. Найти переходную и импульсную характеристики для выходного тока.
. Определить изображение по Лапласу входного импульса.
. Найти ток на выходе цепи, используя или HI(p).
6. Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом - входной и выходной сигналы.
Передаточные (системные) функции цепи могут быть определены как отношение выходной величины ко входной. В зависимости от того, какие величины входят в определение передаточной функции различают: передаточные функции по напряжению, по току, передаточные сопротивления и проводимости. Функция передачи по току может быть представлена в виде: HI (p) = Iн (p)/J(p), где Iн(p) и J(p) операторные изображения выходного и входного сигналов, соответственно.
Для определения HI (p) заменим схему исходной цепи (рис. 1) ее операторной схемой замещения, в которой сопротивления емкости и индуктивности равны 1/Cp и Lp, соответственно, а сопротивления резисторов те же. Далее, из уравнений по законам Кирхгофа, составленных для операторной схемы замещения, выразим отношение Iн (p)/J(p).
I(p)= <