Теорема Ляпунова
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Министерство образования и науки Украины
Днепропетровский национальный университет
им. О. Гончара
Механико-математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Курсовая работа
по асимптотическим методам в теории
дифференциальных уравнений
Выполнила: студентка группы ММ-08-3
Харчук А.Н.
г. Днепропетровск - 2011
Содержание
Теоретическая часть
Раздел 1. Система Ляпунова - случай одной степени свободы
1.Система Ляпунова
2.Приведение к каноническому виду
3.Преобразование интеграла H
4.Периодичность решений системы Ляпунова
5. Теорема Ляпунова
Раздел 2. Условия существования периодических решений
. Необходимые и достаточные условия периодичности
Раздел 3. Метод Ляпунова
1. Алгоритм
Практическая часть
Индивидуальное задание
Решение задания
Список литературы
Теоретическая часть
Раздел 1. Система Ляпунова - случай одной степени свободы.
. Система Ляпунова
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(1.1)
где и - аналитические функции своих переменных в окрестности точки и такие, что их разложение по степеням и начинается с членов, порядок которых не ниже второго:
(1.2)
Систему (1.1) будем называть системой Ляпунова, если выполняются следующие условия:
1)уравнение
(1.3)
имеет чисто мнимые корни ;
2)система (1.1) допускает аналитический первый интеграл
,(1.4)
разложение которого по степеням переменных и начинается с членов второго порядка малости, т. е. функция в окрестности точки является аналитической функцией своих переменных и представима в следующем виде:
. Приведение к каноническому виду
Рассмотрим вспомогательную систему уравнений
(1.5)
Система (1.5) описывает колебание с постоянной амплитудой, поскольку её характеристическое имеет пару чисто мнимых корней.
Исключая из уравнения (1.5) переменную , получим
(1.6)
Для того, чтобы удовлетворилось условие 1), коэффициент при должен быть равен нулю, т. е. должно быть и, кроме того, должно иметь место неравенство
.
Сделаем замену
, ,(1.7)
где - арифметическое значение корня .
Таким образом, получим
Как мы видим при помощи замены (1.7) уравнение (1.6) сводится к эквивалентной системе двух уравнений
.
Также
(1.7)
Поэтому, если в исходной системе (1.1) сделать замену (1.7), то эта система будет приведена к виду (1.8).
(1.8) - система Ляпунова в каноническом виде
где и - аналитические функции своих переменных, разложение которых начинается с членов второго порядка малости. Таким образом, вместо системы (1.1) нам достаточно рассмотреть систему (1.8).
3. Преобразование интеграла H
Остановимся ещё на выражении интеграла . Согласно положению 2) его представление имеет вид
, (*)
где - некоторая постоянная.
Но сначала рассмотрим ситуацию, когда первый интеграл имеет вид:
(1.9)
Так как (1.9) - первый интеграл, то вдоль каждой кривой семейства (1.8) он должен обращаться в 0.
Тоесть
.
Подставим и получим
Сравнивая коэффициенты при , и , получим
При y:
При х:
При ху:
При х2:
При у2:
Отсюда =, D=E. Не нарушая общности можно принять .
Итак, интеграл H можно представить в виде
,(1.10)
где - аналитическая функция своих переменных, разложение которой начинается с членов не ниже третьего порядка малости, - некоторая постоянная, которую всегда мы можем считать положительной для достаточно малых и .
Таким образом, мы видим, что представление первого интеграла всегда имеет вид (*) и, кроме того, его можно представить в виде (1.10)
. Периодичность решений системы Ляпунова
Докажем теперь, что существует периодическое решения системы (1.8) для достаточно малых значений . И что это решение - периодические функции . Для этого достаточно доказать, что фазовые траектории в плоскости замкнутые и сохраняет знак. Для этого введём полярные координаты
;
и заметим, что любая замкнутая траектория должна быть периодической функцией аргумента . Составим выражение для :
(1.11)
Здесь - аналитическая функция , разложение которой имеет вид
Следовательно, в формуле (1.11) функция может быть представлена в виде ряда
,
причем, все коэффициенты - полиномы от и , т. е. периодические функции . Таким образом, выражение (1.11) можно переписать так:
Это равенство мы можем рассматривать как уравнение для определения .
Используя аналитичность функций, которые в него входят, будем функцию разыскивать в виде ряда
, i=1, 2. (1.12)
Прямым вычислением убеждаемся в том, что коэффициенты в разложении (1.12) являются полиномами от и . Так, например,
,
Таким образом, коэффициенты - степенные функции коэффициентов , а последние в свою очередь являются полиномами от и . Вследствие такой структуры коэффициентов ряд