Теорема Ляпунова
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ункции и будут содержать величины , причем Заметим, что величины входят в правые части (3.7) только уравнений относительно и , для которых :
(3.8)
и т. д.
Из уравнений (1.13) следует, что функции и при удовлетворяют начальным условиям
,.(3.9)
Вернемся снова к уравнениям (3.2). Хотя числа нам неизвестны заранее, но они на основании теоремы Ляпунова определяются однозначно для данной системы и не зависят от параметра , ни от начальных условий.
Далее члены рядов (3.3) также определяются однозначно, причём и - периодические функции переменного периода . В самом деле, и - периодические функции, следовательно,
(3.10)
Так как функции и не зависят от параметра , а равенства (3.10) справедливы для любого малого , то
, .
Таким образом, мы можем утверждать заранее, что функции и , которые определяются как решение задачи Коши (3.9) для системы уравнений (3.7), будут периодическими функциями времени периода . С другой стороны, уравнения (3.7) относятся к виду
, ,(2.11)
где ,
являются периодическими функциями времени, поскольку они определяются периодическими функциями …, , , …, . Система вида (2.11) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда функции удовлетворяют условиям
На этом основании можно сформулировать следующее вспомогательное утверждение:
функции , и числа всегда удовлетворяют условиям (3.11)
Практическая часть
Индивидуальное задание
Построить приближенное периодическое решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений:
при начальных условиях , . Здесь A, С=const.
Решение задания
Подставив эти разложения в систему. Получим
Замена,
,
тогда
Согласно методу Ляпунова решение ищем в виде степенного ряда по малому параметру с.
Так как , тогда
Теперь найдем коефициенты при с, с2, с3,…, тоесть найдем .
с:
уравнение окружности, тогда
с2 :
Найдем :
Так как
Таким образом, получим
с3:
Теперь найдем h2 и проверим необходимое и достаточное условие существования периодического решения. Тоесть
Необходимое и достаточное условие:
, где
Таким образом
Сейчас проверим условие существования периодического решения
Таким образом, периодическое решение существует. Далее подставим полученное выражение для h2 в систему для с3
sin2?:
sin3?:
с4:
Теперь для удобства обозначим некоторые числовые выражения
тогда
Снова переобозначим
Тогда
Далее найдем h3
, где
Теперь подставим найденные значения для в систему
При этом вернувшись к замене
,
Откуда
Тогда наше решение примет вид
Список литературы
1. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики, Наука, М.,
г.
. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, ГИТТЛ, М., 1956.