Теорема Ляпунова
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ливо для любых , то оно совпадает с (2.3) и, следовательно, функции и - периодические.
Предположим далее, что система фундаментальных решений систем
(2.4)
нам известна. Обозначим эти функции через , , и , и решение системы (2.1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, полагая
, . (2.5)
где и - некоторые функции времени, подлежащие определению.
Подставим выражения (2.5) в (2.1). Принимая во внимание, что функции , , и удовлетворяют системе (2.4), мы получим следующие уравнения для определения функций и ;
,,
откуда
(2.6)
где и - новые произвольные постоянные, а - определитель Вронского
.
Постоянные и определяются из начальных условий , при . Так как интегральные слагаемые в выражениях (2.6) при обращается в нуль, то постоянные и определяются из уравнений
(2.7)
Используя полученные выражения, выпишем теперь условия периодичности (2.2)
(2.8)
Для того чтобы система (2.1) допускала периодические решения, необходимо и достаточно, чтобы функции и удовлетворяли условиям (2.8).
Рассмотрим эти условия для некоторых специальных случаев, так как это будет играть в дальнейшем изложении особую роль.
Сначала рассмотрим тот частный случай, когда фундаментальные решения - периодические функции, Заметим, что уравнения в вариациях, отвечающие изохорным системам, т. е. системам, период колебаний которых не зависит от начальных условий, всегда имеют периодические решения.
Так как C и D - постоянные числа, то в силу периодичности функции и из (2.7), мы получаем следующие условия:
(2.7)
Равенства (2.7) позволяют упростить систему (2.8), которую можно теперь рассматривать как систему однородных алгебраических уравнений относительно интегралов
.
Перепишем эту систему в следующем виде:
(2.9)
Определитель системы (2.9) есть определитель Вронского для функций . В силу независимости этих функций он отличен от нуля. Таким образом, система (2.9) имеет только тривиальное решение. Поэтому
(2.10)
Итак, мы пришли к следующему результату: если фундаментальное решение системы (2.4) выражается периодическими функциями, то для того, чтобы любое решение системы (2.1) было периодическим необходимо и достаточно, чтобы функции и удовлетворяли условиям (2.10).
Сейчас рассмотрим тот частный случай, когда система (2.1) имеет вид
(2.11)
Система (2.11) сводится к уравнению колебаний математического маятника под действием периодической внешней силы
где
Линейно независимые решения системы (2.11) имеют вид
(2.12)
Определитель Вронского этих функций равен единице, поэтому условия (2.10) будут приведены к такому виду:
(2.13)
ляпунов периодический решение уравнение
Раздел 3. Метод Ляпунова
. Алгоритм
Ляпунов предложил простой и очень эффективный метод построения периодических решений для достаточно малых значений постоянной с решения системы (1.8). Алгоритм Ляпунова использует аналитичность искомых решений по параметру с и дает правило построения решений в форме рядов специального вида, разложенных по степеням этого параметра.
Таким образом, на основании теоремы в разделе 1, решение системы уравнений (1.8) можно искать в виде:
,.
но это невозможно, так как период решения Т неизвестен. Тогда Ляпунов предложил видоизменить масштаб времени так, чтобы решения полученной системы имели фиксированный период, не зависящий от с (например, равный ).
Обратим внимание на формулу (1.24). Она показывает, что если ввести замену
(3.1)
то период колебаний по переменной будет равен . Сделав в системе уравнений (1.8) замену (3.1), получим
(3.2)
Так как правые части системы (3.2) мы умножили на аналитические функции параметра , то решение этой системы, так же как и системы (1.8), аналитические по и для любого достаточно малого периодические по . Но период по независимой переменной теперь уже фиксирован, он равен .
Периодические решения системы (3.2) будем искать в виде рядов
,. (3.3)
Подставим ряды (3.3) в систему уравнений (3.2) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях параметра . Функции и будут удовлетворять следующей системе уравнений:
, .(3.4)
В самом деле, функции и , будучи аналитическими функциями своих переменных, таковы, что их разложение начинается с членов второго порядка малости. Следовательно, при подстановке в эти функции рядов (3.3) функции и не будут содержать членов, линейных относительно . Начальные значения для системы (3.2) определены равенствами (1.13)
: ,.
Следовательно, функции и будут соответствовать следующим начальным условиям:
: ,,
, , где i =2,3… (3.5)
Функции и будут удовлетворять системе уравнений
(3.6)
где и - квадратичные члены разложения функций и по степеням параметра . Так как и - аналитические функции переменных и , причем их разложение начинается с квадратичных членов, то и являются квадратичными формами переменных и .
Точно так же каждая пара функций и , входящая в разложение (3.3), определяется системой уравнений
(3.7)
причем функции и будут содержать величины и только тех номеров , которые меньше чем .
Кроме того, ф