Теорема Ляпунова
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
(1.12) определяет периодическую функцию периода , т. е. при изменении на величина возвращается к своему исходному значению. Если при этом окажется, что сохраняет знак, то это и будет означать, что фазовая траектория замкнутая.
Таким образом, решения системы (1.8) - функции и - будут периодическими функциями времени.
Функции и являются аналитическими по параметру . В самом деле, в силу аналитичности правых частей системы (1.8) её решения будут аналитическими функциями начальных значений
, .
Постоянная так же определяется этими значениями
. (1.13)
Так как правые части системы (1.8) не зависят от времени, то без ограничений общности начальные условия можно записать в виде
, . (1.14)
Отсюда видно, что решения системы (1.8) представляют собой аналитические функции .
5. Теорема Ляпунова
Теперь вычислим период, для этого составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют переменные ? и ?. Вычислим
(1.15)
Заменяя в системе (1.15) производные и их выражениями из уравнений (1.8) и разрешая полученную систему относительно производных и , найдем искомые уравнения
(1.16)
Из второго уравнения определим t:
(1.17)
Для того чтобы удовлетворить условиям (1.13), необходимо константу (1.17) принять равной нулю. Используем тот факт, что ? - аналитическая функция ?. Это позволит разложить подынтегральную функцию в выражении (1.17) в ряд по степеням ?
(1.17)
где - периодические функции ? периода 2?. Следовательно, подынтегральная функция в (1.17) также периодическая функция ? периода 2?. Следовательно, интеграл
не зависит от ?0 и его можно записать в виде
,
где - вполне определенные числа. Таким образом, при измени ? на 2? время t получает приращение Т
, (1.18)
не зависящие от ?0.
Пусть теперь Ф(?) - некоторая периодическая функция ? периода 2?, тогда
. (1.19)
Рассматривая ее как функцию t, будем иметь
. (1.20)
Равенство (1.19) справедливо для любых ?, следовательно, и равенство (1.20) справедливо для любых t, т. е. Ф(t) - периодическая функция t. Значит, величина Т, определенная формулой (1.18) как функция ?, и есть период решения.
Используя (1.17), мы можем записать его в следующем виде:
где период Т стремится к периоду линейных колебаний 2?/?, т. е. к периоду колебаний в системе (1.8) при .
Покажем теперь, что Т- четная функция ?. Вернемся сова к интегралу (1.11). рассматривая его как уравнение относительно ?, мы получаем в окрестности точки ?=0 два решения. Одно из них
(1.21)
другое
(1.21)
Теперь заметим, что левая часть уравнения (1.11) не изменится, если заменим ? на -? и ? на ? + 2?. Следовательно, на основании (1.21) будем иметь
(1.22)
Значение ?, определенное рядом (1.22), будет корнем уравнения (1.11), не совпадающее с (1.21) (потому, что для малых ? из (1.21) следует ? = ?+О(?2), а из (1.22) ? = - ?+О(?2)). Следовательно, оно будет определяться рядом (1.21).
Сравнивая (1.21) и (1.22), получаем
и т.д.
Отсюда следует, что если в выражении (1.21) заменить ? на - ?, а ? на ? + ?, то величина ? примет свое значение с обратным знаком:
.
Выпишем теперь выражение для периода Т. На основании (1.17) имеем
. (1.23)
Сделаем замену в (1.23) замену ? на -?, а ? на ? + ?. Тогда получим величину
.
Согласно доказанному величины и сохраняют свои значения. Следовательно, то же самое можно сказать и о функциях Х и Y. В то же время , и изменяют свои знаки. Следовательно, знаменатель изменит знак на обратный, но и числитель изменит знак на обратный. Следовательно,
.
Итак,
,
т. е. период - четная функция величины ?.
Таким образом, выше было доказано теорему Ляпунова, а теперь сформулируем ее.
Теорема Ляпунова.
Если постоянная достаточно мала, то все решения системы уравнения (1.8) - периодические функции t, причем период - четная функция величин и при стремится к . Решения системы (1.8) являются аналитическими функциями величины c - начального отклонения переменной x.
Имея в виду формулу
выражение периода можно переписать в следующем виде:
(1.24)
Раздел 2.
Условия существования периодических решений
. Необходимые и достаточные условия периодичности
Рассмотрим систему:
(2.1)
Сначала мы не будем делать никаких предположений о природе коэффициентов , кроме предположения об их периодичности по .
Пусть и - решение системы (2.1), удовлетворяющее следующим данным Коши:
,.
Для того чтобы это решение было периодическим с периодом , необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяющее следующим условиям:
, . (2.2)
Очевидно, что условия (2.2) необходимы, так как функция называется периодической, если она удовлетворяет условиям:
, (2.3)
каково бы не было . Условия (2.2) являются частным случаем (2.3) при . Эти условия являются так же достаточными. В самом деле, правые части системы (2.1) - периодические функции времени периода и, следовательно, они инвариантны относительно замены переменного , тогда в силу (2.2) по и мы будем иметь одну и ту же задачу Коши и, следовательно,
;
Или
;.
Так как это равенство справед