Бета- и гамма-функции
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ение. В самом деле, из функционального уравнения (1) логарифмированием и дифференцированием получаем следующее уравнение для функции :
. (3.8)
Но из равенства (3.7) следует:
(постоянная С и все слагаемые, кроме первого, при вычислении сокращаются), поэтому для того, чтобы удовлетворилось соотношение (8), функция должна быть периодической с периодом 1, т.е. . Обратно, для любой такой функция будет удовлетворять уравнению (3.8) и, интегрируя и дифференцируя последнее, найдем:
,
где А - некоторая постоянная. Если функция удовлетворяет еще условиям , то, подставляя в последнее уравнение z = 1, найдем А = 0, т.е. после потенцирования получим функциональное уравнение (3.1).
Таким образом, для любой целой периодической с периодом 1 функции соответствующая функция (если для нее ) удовлетворяет обоим условиям I и II.
Иными словами, условиям I и II удовлетворяет целый класс мероморфных функций. Простейшую из этих функций мы получим, если положим в (3.7) - она и называется гамма-функцией Эйлера и обозначается символом Г(z). Для логарифмической производной гамма-функции имеем, следовательно, разложение:
, (3.9)
где С - постоянная, которую мы сейчас определим. Проинтегрируем разложение (3.9) вдоль некоторого пути, соединяющего точку z = 0 с произвольной точкой и не одержащего точек , получим разложение логарифма гамма-функции:
. (3.10)
Постоянная С определяется условием Г(2)=1, которое мы наложили выше на гамма-функцию (второе условие Г(1)=1 имеет место при любом С в силу нашего выбора начала пути интегрирования).
Подставим в (3.10) z=1, получим:
.
Последнее произведение равно ; добавляя в сумму, стоящую под знаком предела, стремящейся к нулю член и заменяя еще через , получим:
(3.11)
Эта постоянная носит название постоянной Эйлера, ее приблизительное значение равно .
Из формулы (3.10) потенцированием получаем представление функции в виде бесконечного произведения
.
.
.
(3.12)
Полученное бесконечное произведение сходится для всех конечных z, для () это следует из доказанной сходимости ряда (3.9) и теоремы - для сходимости бесконечного произведения необходима и достаточна сходимость ряда при надлежащем выборе значений логарифмов. А для непосредственно видно, что она сходится к нулю.
3.2 Основные свойства
Перечислим основные свойства гамма-функции, которые мы получили при ее определении:
) Г(z) аналитична всюду, кроме целочисленных отрицательных точек и точки z=0.
) Г(z) удовлетворяет функциональному уравнению
Г (z+1)=zГ(z). (3.13)
или более общему
(3.14)
) При всех целых положительное значение Г (n+1) совпадает с n!
(3.15)
) Все полюсы гамма-функции первого порядка, причем вычет Г(z) в полюсе равен .
Из сходимости произведения (3.12) заключаем:
) Функция - целая, следовательно, гамма-функция не обращается в нуль.
Свойства 3) - 5) выясняют общий характер графика функции действительного аргумента . На рисунке 2 изображены графики функций и (пунктиром).
Максимумы и минимумы для отрицательных приближаются к нулю при , это связано с тем, что по свойству 4) вычет, т.е. коэффициент при главной части разложения в окрестности точки , сильно убывает с ростом :
Ниже приведен рельеф гамма-функции (рис. 3), т.е. поверхность с уравнением .
Ярко выраженные пики над точками соответствуют полюсам. Два семейства линий на поверхности представляют собой семейства линий равного модуля и равного аргумента, цифровые отметки на них указывают значения модуля и аргумента (последнее - в градусах).
Приведем еще несколько свойств гамма-функции. Наряду с соотношением (3.13) во многих вопросах полезно еще второе функциональное уравнение для гамма-функции:
) Для всех комплексных z
(3.16)
(при , б обе части равенства обращаются в бесконечность).
Для вывода этого соотношения подставим сначала в формулу (3.12), получим:
,(3.17)
затем заменим в той же формуле (3.12) z на - z:
.
Перемножив полученные произведения (это законно в силу их абсолютной сходимости), найдем:
.
Остается воспользоваться разложением в бесконечное произведение, и мы получим искомую формулу (3.16).
Отметим некоторые следствия полученных формул. Полагая в формуле (3.16), находим , откуда .
Применив теперь формулу (14), в которой положено найдем:
(3.18)
Полагая в (3.16) , будем иметь:
откуда по (3.18) получим формулу:
(3.19)
) Для всех z из правой полуплоскости
,(3.20)
где интегрирование производится по положительной полуоси t (Эйлер).
Для доказательства прежде всего заметим, что интеграл (3.20) сходится для всех z, для которых . В самом деле, , и мы видим, что при сходимость интеграла (для любого ) обеспечивается множителем , а при подынтегральная функция имеет порядок , так что для интеграл будет сходиться.
Далее, рассмотрим еще функцию ;
вводя здесь новое переменное интегрирования и применяя затем формулу интегрирования по частям, находим: . (подынтегральная часть исчезает).
Повторив этот прием до тех пор, пока не исчезнет множитель , получим:
Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на , тогда найдем:
.
Перейдем теперь к пределу при , на основании формул (3.11),