Бета- и гамма-функции
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
вие оправдывает перестановку интегралов, а с нею и формулу (2.8) - для случая а > 1, b > 1.
Если же известно лишь, что а > 0 и b > 0, то - по доказанному - имеем
В (а+1, b+1) = .
А отсюда, используя формулы привидения (1.2), (1.2') для функции В и (2.4) для функции Г, легко вновь получить формулу (2.8) уже без ненужных ограничений.
2.2.5 Формула дополнения
Если в формуле (2.9) положить b = 1-а (считая 0 < а < 1), то, используя формулы (1.5) и (2.6), получим соотношение:
В (а, 1-а) = = Г(а) Г (1-а)
В (а, 1-а) = ,
Г(а) Г (1-а) =
Эта формула называется формулой дополнения. При находим (так как Г(а)>0)
Г (). Г (1-) =
Г2 () = ,
Г () = . (2.11)
Если в интеграле сделать подстановку z= x2, то получим значение интеграла Эйлера-Пуассона:
= = = 2 = .
2.2.6 Формула Эйлера
В качестве применения формулы дополнения определим (вместе с Эйлером) величину произведения (где n - любое натуральное число)
Е = Г () Г () … Г () Г ().
Перепишем это произведение в обратном порядке
Е = Г () Г () … Г () Г (),
перемножим оба выражения:
Е2 =
и к каждой паре множителей применим формулу дополнения. Мы получим:
Е2 = = .
Теперь для вычисления произведения синусов рассмотрим тождество:
=
и устремим в нем , получим:
n =
или, приравнивая модули:
n = = =
= = =
= = = 2 sin = 2 n-1 ,
получили
= .
Подставляя это выражение для Е 2, окончательно получаем:
Е = = . (2.12)
2.2.7 Интеграл Раабе
С формулой дополнения связано и вычисление важного интеграла:
R0 = .
Заменяя а на 1 - а, можно написать:
R0 =
и, складывая это выражение с предыдущим и пользуясь вторым функциональным уравнением () для гамма-функции, получим:
R0 = R0 = + = =
= = = - =
= = - = - .
Второй из полученных интегралов после замены u = - переходит в , и объединяя его с первым, находим I = ln2 + 2I, откуда I =-ln2. Таким образом, получаем:
R0 = = + = . (2.13)
Раабе рассмотрел боле общий интеграл (при а>0):
R (a) = = а (ln a - 1) + . (2.14)
3. Другое определение функции Гамма
Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением, что мы и делали в предыдущих параграфах. Но гамма-функцию можно представить и в виде ряда. Значение этой функции видно хотя бы из того, что она является естественным распространением факториала на дробные и даже комплексные значения аргумента. Это соображение мы и положим в основу другого определения гамма-функции.
3.1 Определение
Рассмотрим функциональное уравнение
, (3.1)
которому для всех целых неотрицательных значений удовлетворяет функция
(3.2)
Будем искать аналитическую функцию , удовлетворяющую уравнению (3.1) для всех комплексных z и, для определенности, равную 1 при (условие 1).
Надо заметить, что искомая функция для любых целых положительна. должна удовлетворять уравнению
.(3.3)
которое получается повторным применением формулы (3.1).
Полагая в соотношении (3.3) , получаем, что для всех целых положительное значение совпадает с .
Заменив в (3.3) и переписав это соотношение в виде
, (3.4)
мы видим, что искомая функция должна иметь полюса во всех целых неположительных точках (= 0, 1, 2, …). В самом деле, при числитель выражения (3.4) стремится к 1, а знаменатель к нулю. Из той же формулы (3.4) видно, что
(3.5)
Но мы знаем, что вычет в полюсе первого порядка определяется по формуле
.
В формуле (3.5) все полюсы - первого порядка, значит вычет в полюсе равен .
Мы предположим еще, что не имеет других особенностей, кроме z = 0, -1, -2, …, и нигде не обращается в нуль (условие II).
Тогда логарифмическая производная функции равна:
,
и будет мероморфной функцией, имеющей в точках z = 0, -1, -2, …, простые полюса с вычетами, равными -1.
Прологарифмируем формулу (3.3).
.
Продифференцируем полученную функцию:
.
Подставим здесь z = 0 и обозначим :
;
вычитая полученное равенство из предыдущего, найдем:
(3.6)
Ряд с общим членом
,
очевидно сходится при любом ибо отношение его общего члена к члену сходящегося ряда стремится к конечному пределу - z. Кроме того, в любой ограниченной области, начиная с некоторого , имеем , где М - некоторая постоянная, следовательно, этот ряд сходится равномерно. Таким образом, по теореме Вейерштрасса сумма ряда представляет собой функцию, аналитическую во всех конечных точках, кроме точек , где она имеет полюсы первого порядка с вычетом, равным -1.
Перейдем в формуле (3.6) к пределу при ; по только что доказанному существует предел , следовательно, существует и предел , который мы обозначим через . В пределе будем иметь:
(3.7)
Так как по доказанному имеет в точках полюсы первого порядка, то главные части ее логарифмической производной в этих полюсах равны . Отсюда следует, что функция должна быть целой. Очевидно, что и обратно, какова бы ни была целая функция , функция , определяемая по своей логарифмической производная будет удовлетворять условию II.
Условие I налагает на функцию дополнительное ограни?/p>